Normal matris

I matematik sägs en komplex kvadratisk matris A vara normal if

där A ∗ är den konjugattransponerade matrisen av A . Således är en matris normal om och bara om den pendlar med sin konjugerade transponering.

En reell matris A uppfyller A ∗ = A T , och därför är det normalt om A T A = AA T .

Normalitet är ett bekvämt test för reducerbarhet till en diagonal form - en matris är normal om och endast om den är enhetligt lik en diagonal matris , och därför kan vilken matris A som helst som uppfyller ekvationen A ∗ A = AA ∗ reduceras till en diagonal form. (Två matriser A och B sägs vara enhetligt lika om det finns en enhetlig matris S så att A = S -1 BS .)

Begreppet normalmatris kan utvidgas till normala operatorer i oändligt dimensionella Hilbertrum och normala element i C*-algebror .

Särskilda tillfällen

Bland komplexa matriser är alla enhetliga , hermitiska och skev-hermitiska matriser normala. Bland reella matriser är alla ortogonala , symmetriska och skevsymmetriska matriser normala. Det är dock inte sant att alla normala matriser är antingen enhetliga eller hermitiska eller skev-hermitiska. Till exempel,

är varken enhetlig, inte eremitisk eller skev-hermitisk, även om det är normalt, eftersom

Konsekvenser

Mening. En normal triangulär matris är diagonal .

Låt A vara en normal övre triangulär matris. Eftersom ( A ∗ A ) ii = ( AA ∗ ) ii , måste den första raden ha samma norm som den första kolumnen:

De första elementen i den första raden och den första kolumnen är desamma, och resten av den första kolumnen består av nollor. Av detta följer att i strängen måste alla element från 2 till n vara noll. Om vi ​​fortsätter med detta resonemang för rad/kolumnpar med siffror från 2 till n får vi att A är diagonal.

Begreppet normalitet är viktigt eftersom normala matriser är exakt de som spektralsatsen handlar om :

Mening. En matris A är normal om och endast om det finns en diagonal matris Λ och en enhetlig matris U så att A = U Λ U ∗ .  

De diagonala elementen i matrisen Λ är egenvärden , och kolumnerna i U är egenvektorer för matrisen A . (egenvärdena i Λ är i samma ordning som deras motsvarande egenvektorer i U ).

Ett annat sätt att ange spektralsatsen är att säga att normalmatriser är exakt de matriser som kan representeras som en diagonal matris genom att välja en lämplig ortonormalbas för rummet C n . Det kan också hävdas att en matris är normal om och endast om dess egenrum sammanfaller med C n och egenvektorerna är ortogonala med avseende på standardinre produkten i C n .

Spektralsatsen för normala matriser är ett specialfall av den mer allmänna Schur-nedbrytningen , som gäller för alla kvadratiska matriser. Låt A vara en kvadratisk matris. Sedan, enligt Schur-nedbrytningen, är den enhetligt lik en övre triangulär matris, säg B . Om A är normalt så är B också normalt. Men då måste B vara diagonal av ovan angivna skäl.

Spektralsatsen låter en klassificera normala matriser i termer av spektrum, till exempel:

Mening. En normal matris är enhetlig om och endast om dess spektrum ligger på enhetscirkeln för det komplexa planet. Mening. En normal matris är självadjoint om och endast om dess spektrum finns i R .

I allmänhet är summan eller produkten av två normala matriser inte nödvändigtvis en normal matris. Följande görs dock:

Mening. Om A och B är normala och AB = BA gäller , är både AB och A + B också normala. Dessutom finns det en enhetlig matris U så att UAU ∗ och UBU ∗ är diagonala. Med andra ord är A och B gemensamt reducerbara till diagonalformen .  

I detta speciella fall är kolumnerna i matrisen U ∗ egenvektorer för både A och B och bildar en ortonormal bas i C n . Påståendet följer av satserna att pendlingsmatriser över ett algebraiskt slutet fält är gemensamt reducerbara till triangulär form och att en normalmatris är reducerbar till en diagonal, i det senare fallet med tillägget att detta kan göras samtidigt .  

Motsvarande definitioner

Man kan ge en ganska lång lista med likvärdiga definitioner av en normal matris. Låt A vara en n × n komplex matris. Följande påståenden är likvärdiga:

  1. A är normalt.
  2. A kan reduceras till diagonalformen med hjälp av en enhetlig matris.
  3. Alla punkter i rymden kan erhållas som linjära kombinationer av någon uppsättning ortonormala egenvektorer för matrisen A .
  4. || Yxa || = || A ∗ x || för vilken x som helst .
  5. Frobenius-normen för en matris A kan beräknas från egenvärdena för matrisen A :
  6. Den hermitiska delen och den skev-hermitiska delen av matrisen A pendlar.
  7. A ∗ är ett polynom (med grad ≤ n − 1 ) i A [1] .
  8. A ∗ = AU för någon enhetlig matris U [2] .
  9. U och P pendlar, där U och P representerar en polär nedbrytning av A = UP till en enhetlig matris U och någon positiv-definitiv matris P .
  10. A pendlar med någon normal matris N som har olika egenvärden.
  11. i = | λ i | för alla 1 ≤ i ≤ n , där A har singulära egenvärden σ 1 ≥ ... ≥ σ n och egenvektorer | λ 1 | ≥ ... ≥ | λ n |. [3]
  12. Operatornormen för en normal matris A är lika med den numeriska och spektralradien matrisen A . Det betyder:

Vissa, men inte alla, av definitionerna ovan kan generaliseras till normala operatorer på oändligt dimensionella Hilbert-rum. Till exempel är en avgränsad operator som uppfyller (9) endast kvasinormal .

Analogier

Det är ibland användbart (och ibland missvisande) att betrakta relationerna mellan olika typer av normala matriser som en analogi till olika typer av komplexa tal:

Man kan bädda in komplexa tal i normala 2 × 2 reella matriser genom avbildning

och denna inbäddning bevarar addition och multiplikation. Det är lätt att kontrollera att i detta fall alla ovanstående analogier är bevarade.

Anteckningar

  1. ↑ Bevis: Om A är normal, använd Lagrange-interpolationsformeln för att konstruera ett polynom P så att λ j = P ( λ j ) , där λ j är egenvärdena för matrisen A .
  2. ↑ Horn, s. 109
  3. ↑ Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Ämnen i matrisanalys . - Cambridge University Press, 1991. - S.  157 . — ISBN 978-0-521-30587-7 .

Länkar