Spektralsats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 augusti 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Spektralsatsen är en klass av satser om linjära operatormatriser som ger villkor under vilka sådana matriser kan diagonaliseras , det vill säga representeras som en diagonal matris på något sätt . Dessa teorem reducerar beräkningar som involverar diagonaliserbara matriser till mycket enklare beräkningar med motsvarande diagonalmatriser.

Begreppet diagonalisering, som är ganska enkelt för fallet med ändligt dimensionella vektorrum , kräver vissa förtydliganden när man går över till oändligt dimensionella vektorrum .

Generellt sett pekar spektralsatsen ut en klass av linjära operatorer som kan modelleras med multiplikationsoperatorer - de enklaste operatorerna som kan vara. Mer abstrakt är spektralsatsen ett påstående om kommutativa -algebror . $C^{*}$

Exempel på operatorer som spektralsatsen kan appliceras på är self-adjoint operatorer eller, mer allmänt, normala operatorer på Hilbert spaces .

Spektralsatsen ger också en kanonisk nedbrytning av det omgivande vektorutrymmet, kallat spektral- eller egenvärdesuppdelning .

Ändligt dimensionellt fall

Spektralsats för hermitiska matriser

För vilken hermitisk matris som helst på ett ändligt dimensionellt vektorrum, [ 1] : $A$ $V$

Alla matrisegenvärden är reella ; $A$
Egenvektorer som motsvarar olika egenvärden är ortogonala ;
Egenvektorerna bildar en ortogonal bas för hela rummet . $V$

Bevis

Lemma 1 : för alla vektorer och sant: $\mathbf {y} \in V$ $\mathbf {z} \in V$

(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(\mathbf {y} ,A\mathbf {z} )

Bevis på Lemma 1:

Per definition:

A=A^{*}

Följaktligen:

(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(Ay)^{*}z=y^{*}Az=(y,Az)

Bevis för påstående 1 . Låt oss bevisa att alla egenvärden i matrisen är reella. $A$

Betrakta - matrisens egenvärde . $\lambda$ $A$

Sedan, enligt definitionen av ett egenvärde, finns det en vektor för vilken . $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$ $A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$

Multiplicera båda sidorna av denna likhet skalärt med : $\mathbf {x}$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )

Per definition av punktprodukten:

(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )}}={\overline {\lambda }}( \mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (1)

Å andra sidan, genom att tillämpa Lemma 1 på , får vi: $\mathbf {y} =\mathbf {z} =\mathbf {x}$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )=\ lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (2)

Det följer av jämlikheterna : $(ett)$ $(2)$

{\overline {\lambda ))(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )

Eftersom för något är sant , då: $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$

{\overline {\lambda ))=\lambda

vilket betyder . $\lambda \in \mathbb {R}$

Bevis för påstående 2 . Låt oss bevisa att egenvektorerna som motsvarar olika egenvärden är ortogonala.

Betrakta två olika egenvärden . Sedan: $\lambda \neq \mu$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}

var och är egenvektorer. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Låt oss multiplicera den första likheten med , och även tillämpa Lemma 1 och det ovan bevisade faktum att egenvärdena är reella, . Som ett resultat får vi: $\mathbf {y}$ $\lambda \in \mathbb {R}$

\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,\mathbf {y} )= (\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mu \mathbf {y} )=\mu (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

Med utgångspunkt från , får vi att , det vill säga, med andra ord, vektorerna och är ortogonala. $\lambda \neq \mu$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Bevis för påståendet 3 . Låt oss bevisa att egenvektorerna utgör en bas för hela rummet $V$

Låt , matrisens egenvärde och motsvarande egenvektor . $\lambda _{1}$ $A$ $\mathbf {x_{1}}$

Betrakta - mängden av alla vektorer från , ortogonal till . $V_{1}$ $V$ $\mathbf {x_{1}}$

Eftersom det för någon är sant att , så enligt Lemma 1: $\mathbf {x} \in V_{1}$ $(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0$

(\mathbf {x_{1}} ,A\mathbf {x} )=(A\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=\lambda _{1}(\mathbf {x_ {1}} ,\mathbf {x} )=0

Därför, . $\mathbf {Ax} \in V_{1}$

Den linjära operatorn , som begränsas av mängden , är också hermitisk, har ett egenvärde och en motsvarande egenvektor . $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{1}$ $\lambda _{2}$ $\mathbf {x_{2}}$

Per definition, ortogonal . ${\mathbf {x}}_{{2}}$ ${\mathbf {x}}_{{1}}$

Betrakta en uppsättning - en uppsättning vektorer ortogonala samtidigt och . På liknande sätt mappar den linjära operatorn sig själv. $V_{{2}}$ ${\mathbf {x}}_{{1}}$ ${\mathbf {x}}_{{2}}$ $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{{2}}$

Om vi fortsätter på detta sätt kan vi hitta sekvensen , , samt delrum som innehåller och samtidigt ortogonala mot vektorerna . Sekvensen kommer att sluta i steg , eftersom . $\lambda _{{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k))$ ${\displaystyle V_{k))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{k-1))$ $n$ $\dim V_{k}=nk$

Därmed bildar egenvektorerna en ortogonal bas för hela rummet ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n))$ $V$

■

Spektralsats för enhetliga matriser

För varje enhetlig matris på ett ändligt dimensionellt vektorrum är det sant [1] : $U$ $V$

Alla matrisegenvärden har absoluta värden lika med ; $A$ $ett$
Egenvektorer som motsvarar olika egenvärden är ortogonala ;
Egenvektorerna bildar en ortogonal bas för hela rummet . $V$

Bevis

Lemma 2 : För en enhetlig matris gäller följande: $U$

(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

var och är godtyckliga vektorer ifrån $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$ $V$

Bevis på Lemma 2:

(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(U\mathbf {x} )^{*}U\mathbf {y} =x^{*}U^{*}Uy= x^{*}y=(x,y)

Bevis på påstående 1 : Alla matrisegenvärden har absoluta värden lika med . $A$ $ett$

Betrakta - matrisens egenvärde . $\lambda$ $A$

Sedan, per definition av ett egenvärde, finns det en vektor för vilken: $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}

Genom att tillämpa Lemma 2 får vi:

(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )={\overline {\lambda }}\lambda (\mathbf {x} , \mathbf {x} )

Sedan , då , och därför: $\mathbf {x} \neq 0$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$

{\overline {\lambda }}\lambda =|\lambda |^{2}=1

Bevis för krav 2 : Egenvektorer som motsvarar olika egenvärden är ortogonala.

Betrakta två olika egenvärden . Sedan: $\lambda \neq \mu$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}

var och är egenvektorer. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Låt oss multiplicera dessa två ekvationer:

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )={\overline {\lambda }}\mu (\mathbf {x} , \mathbf {y} )

Som visas ovan, . Därför , varifrån: $|\lambda |=1$ ${\overline {\lambda }}=\lambda ^{-1}$

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mu \lambda ^{-1}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

Eftersom antagandet gjordes ovan får vi: $\lambda \neq \mu$

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0

Det vill säga att vektorerna och är ortogonala. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Bevis för påstående 3 : Egenvektorerna bildar en ortogonal bas för hela rummet . $V$

Låt , matrisens egenvärde och motsvarande egenvektor . $\lambda _{1}$ $A$ $\mathbf {x_{1}}$

Betrakta - mängden av alla vektorer från , ortogonal till . $V_{1}$ $V$ $\mathbf {x_{1}}$

Låt oss bevisa att för vilken vektor som helst är sant . $\mathbf {x} \in V_{1}$ $A\mathbf {x} \in V_{1}$

Lemma 2 antyder det . Med hjälp av detta faktum får vi: ${\displaystyle A^{*}=A^{-1))$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{1})=(x,A^{*}\mathbf {x} _{1})=(x,A^{-1} \mathbf {x} _{1})=\lambda ^{-1}(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0

Alltså är ett riktigt delrum av rymddimensionen . $V_{1}$ $\dim V-1$ $V$

Eftersom den linjära operatorn , som begränsas av mängden , också är Hermitian, har den ett egenvärde och en motsvarande egenvektor . $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{1}$ $\lambda _{2}$ $\mathbf {x_{2}}$

Därmed bildar egenvektorerna en ortogonal bas för hela rummet ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n))$ $V$

■

Normala matriser

Spektralsatsen kan utökas till en något bredare klass av matriser. Låt vara en operatör på ett ändligt dimensionellt utrymme med skalär produkt. kallas normalt om . Man kan bevisa att det är normalt om och bara om det är enhetligt diagonaliserbart. I själva verket, enligt Schur-sönderdelningen, har vi , där är en enhetlig operator och är en övre triangulär. Eftersom är normalt, alltså . Därför är den diagonal. Det omvända är inte mindre uppenbart. $A$ $A$ $AA^{*}=A^{*}A$ $A$ $A=UTU^{*}$ $U$ $T$ $A$ $TT^{*}=T^{*}T$ $T$

Med andra ord, är normalt om och endast om det finns en enhetlig matris sådan att , där är en diagonal matris av . Dessutom är de diagonala elementen i matrisen Λ egenvärden, och matrisens kolumnvektorer är egenvektorer (naturligtvis har de enhetslängd och är parvis ortogonala). I motsats till det hermitiska fallet är matriselementen inte nödvändigtvis verkliga. $A$ $U$ $A=U\Lambda U^{*}$ $\lambda$ $A,$ $U$ $A$ $\lambda$

Spektralsats för kompakta självadjointoperatorer

I oändligt dimensionella Hilbert-utrymmen ser påståendet om spektralsatsen för kompakta själv-adjoint-operatorer i huvudsak samma ut som i det finita-dimensionella fallet.

Sats
Låt vara en kompakt självadjointoperator i ett Hilbert-utrymme . Det finns en ortonormal bas av rymden , bestående av egenvektorerna för operatorn . Dessutom är alla egenvärden reella. $A$ $V$ $V$ $A$

Precis som i fallet med hermitiska matriser är nyckeln att bevisa förekomsten av minst en egenvektor. I det oändliga dimensionella fallet är det omöjligt att använda determinanter för att bevisa förekomsten av egenvektorer, men maximeringsöverväganden som liknar variationskarakteriseringen av egenvärden kan användas. Ovanstående spektralsats är giltig för både reella och komplexa Hilbert-rum.

Utan antagandet om kompakthet blir påståendet att varje självadjoint operator har en egenvektor falskt.

Spektralsats för avgränsade självadjointoperatorer

Nästa generalisering vi överväger gäller bounded self-adjoint operators på Hilbert spaces. Sådana operatorer kanske inte har egenvärden (till exempel är det operatorn för multiplikation med en oberoende variabel i rymden , det vill säga . $A$ $L^{2}[0,1]$ $\left[A\phi \right](t)=t\phi (t)$

Sats
Låt vara en avgränsad självadjoint operator i ett Hilbertrum . Sedan finns det ett utrymme med mått , en verkligt värderad mätbar funktion på och en enhetlig operator så att , där är multiplikationsoperatorn , det vill säga . $A$ $H$ $\left(X,\Sigma ,\mu \right)$ $f$ $X$ $U:H\rightarrow L_{\mu }^{2}(X)$ $U^{*}TU=A$ $T$ $\left[T\phi \right](x)=f(x)\phi (x)$

Med detta teorem börjar ett stort forskningsområde inom funktionsanalys som kallas operatorteori .

En liknande spektralsats är giltig för begränsade normaloperatorer i Hilbertrum. Den enda skillnaden är att det nu kan vara komplext värderat. $f$

En alternativ formulering av spektralsatsen gör att operatorn kan skrivas som en integral, övertagen över operatorns spektrum, av koordinatfunktionen över projektionsmåttet . I fallet när den normala operatorn i fråga är kompakt, reduceras denna version av spektralsatsen till ovanstående änddimensionella spektralsats (med förbehållet att nu den linjära kombinationen kan innehålla oändligt många projektioner). $A$

Spektralsats för allmänna självadjointoperatorer

Många viktiga linjära operatorer som uppstår i kalkyl är inte begränsade. Till exempel är dessa differentialoperatorer . Det finns ett spektralteorem för självtillslutande operatorer som fungerar för obegränsade operatorer. Till exempel är vilken differentialoperator som helst med konstanta koefficienter enhetligt ekvivalent med en multiplikationsoperator (motsvarande enhetsoperator är Fouriertransformen , och den motsvarande multiplikationsoperatorn kallas Fouriermultiplikatorn ).

Litteratur

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right , Springer Verlag, 1997
A. A. Kirillov, A. D. Gvishiani, Theorems and problems of functional analysis , M.: Nauka, 1979
Paul Halmos , "Vad säger spektralsatsen?" , American Mathematical Monthly , 70 , nr. 3 (1963), 241-247

Anteckningar

↑ 1 2 A. Eremenko. Spektralsatser för Hermitiska och enhetliga matriser . https://www.math.purdue.edu/~eremenko/ . Purdue science, Matematiska institutionen (26 oktober 2017). Hämtad 19 februari 2019. Arkiverad från originalet 20 februari 2019.