Polär nedbrytning

Polär nedbrytning är en representation av en kvadratisk matris som en produkt av hermitiska och enhetliga matriser . Det är en analog av nedbrytningen av ett komplext tal i formen . $A$ $S$ $U$ $A=SU$ $z=|z|e^{i\varphi }$

Egenskaper

Vilken kvadratisk matris som helst över (över ) kan representeras som , där är en symmetrisk (hermitisk) icke-negativ bestämd matris, är en ortogonal (enhetlig) matris. Om matrisen är icke degenererad , är en sådan representation unik [1] . $A$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $A=SU$ $S$ $U$ $A$
Vilken matris som helst kan representeras som , där och är enhetliga matriser, är en diagonal matris [1] . $A$ $A=UDW$ $U$ $W$ $D$
Om är polära expansioner av en icke degenererad matris , då [1] . $A=S_{{1}}U_{{1}}=S_{{2}}U_{{2}}$ $A$ $U_{{1}}=U_{{2}}$

Existens

Låt oss bevisa att vilken kvadratisk matris som helst kan representeras som en produkt av en symmetrisk icke-negativ bestämd matris och en ortogonal matris. $A$ $\mathbb {R}$

Sedan är matrisen symmetrisk. Det finns [2] en bas, som kan betecknas med , bestående av ortonormala egenvektorer av matrisen , ordnade i fallande ordning av egenvärden. ${\left(A^{T}A\right)}^{T}=A^{T}A$ $A^TA$ $\vec{e}$ $A^TA$

Sedan , då för alla vektorer och bas , . Detta betyder att bilden av basen med avseende på transformationen är ortogonal (vinklarna mellan basens vektorer bevaras, men inte deras längder). Under transformationen omvandlas basvektorerna till vektorer . $(A^T(x), y) = (x, A(y))$ $e_{i}$ $e_j$ $e$ $\lambda_i (\vec{e_i}, \vec{e_j})=(A^TA(\vec{e_i}), \vec{e_j})=(A(\vec{e_i}), A(\vec{ e_j}))$ $\vec{e}$ $A$ $A$ $\vec{e_i}$ $e$ $\sqrt{\lambda_i} \vec{e_k}$

Singularvärdena för en matris är kvadratrötterna av matrisens egenvärden . $A$ $\sqrt{\lambda_i}$ $A^TA$

Därför är det uppenbart att . Eftersom i grunden under övervägande vektorerna är ordnade i fallande ordning av deras egenvärden, finns det ett antal så att . $\lambda_i \ge 0$ $r$ $\forall i \le r \rightarrow \lambda_i > 0$

Låta vara ett system av vektorer vid , kompletterat till en ortonormal grund godtyckligt. Låt vara övergångsmatrisen från bas till bas . Eftersom båda baserna är ortonormala är matrisen ortogonal. Eftersom det finns en ortonormal bas av egenvektorer för matrisen . Detta betyder att matrisen i basen har en diagonal form, och därför är den symmetrisk på en godtycklig ortonormal basis. $f$ $\vec{f_i} = {{\vec{A(e_i)}} \över {\sqrt{\lambda_i}}}$ $i < r$ $F$ $e$ $f$ $F$ $Q^{-1} A(e_i) = Q^{-1} \left( \sqrt{\lambda_i} f_i\right)=\sqrt{\lambda_i} e_i$ $Q^{-1} A$ $Q^{-1} A$ $\vec{e}$

Så, där matrisen är ortogonal och matrisen är symmetrisk. $A=QQ^{-1}A=Q(Q^{-1}A)$ $F$ $Q^{-1} A$

Anteckningar

↑ 1 2 3 Problem och satser för linjär algebra, 1996 , sid. 224.
↑ egenvärden för en symmetrisk matris

Litteratur

Prasolov VV Problem och satser för linjär algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 sid. - ISBN 5-02-014727-3 .