Stängd operatör

I funktionsanalys är slutna operatorer en viktig klass av obegränsade operatorer , mycket bredare än klassen av begränsade , det vill säga kontinuerliga, operatorer. En sluten operatör behöver inte definieras på hela utrymmet. Slutna operatorer har tillräckligt bra egenskaper för att kunna introducera sitt spektrum , konstruera en funktionskalkyl och (i speciella fall) en komplett spektralteori. Ett viktigt exempel på slutna operatorer är derivatan och många differentialoperatorer .

Låta vara en linjär operator mellan Banach-utrymmen definierade på något linjärt delrum i . Den kallas stängd [1] om dess graf är stängd i , det vill säga för vilken sekvens som helst, om det är sant att och , då och . $A\colon D(A)\subset X\to Y$ $D(A)$ $X$ $X \ gånger Y$ $x_{n}\in D(A)$ $x_{n}\to x\in X$ $A(x_{n})\to y\in Y$ $x\in D(A)$ $A(x)=y$

Begreppet en sluten linjär operator är en generalisering av begreppet en linjär kontinuerlig operator: varje linjär kontinuerlig operator är stängd.

Egenskaper för en sluten linjär operator

Om en stängd operatör är inverterbar så är den stängd. Som en konsekvens har varje reversibel linjär kontinuerlig operator en sluten inversoperator. $A$ $A^{{-1}}$
Om är en sluten linjär operator definierad överallt i ett Banach-utrymme med värden i rymden , och det finns en positiv konstant så att för någon av de överallt täta uppsättningarna är operatorn begränsad. $A$ $X$ $Y$ $c$ $\|Ax\|\leq c\|x\|$ $x$ $A$
Banachs slutna grafsats . Om en stängd operatörär definierad på alltär den begränsad. $A:X\to Y$ $X$
If är en sluten operatör, är ett utrymme med ett mått, och funktionerna är starkt mätbara , alltså (likheten mellan Bochner-integralerna ). $A\colon X\to Y$ $(E,{\mathcal {B)),\mu )$ $x\colon E\to X$ $Ax\colon E\to Y$ $A\int x(t)\mathrm {d} \mu (t)=\int Ax(t)\mathrm {d} \mu$

Exempel på stängda men obegränsade operatorer

I exemplen, och är rum av funktioner som är kontinuerliga respektive avgränsade på ett segment och en stråle $C[0,1]$ $C_{0}[0,\infty )$ $[0,1]$ $[0,\infty)$

Differentieringsoperator , med domän- , med värden i . ${\frac {d}{dt}}:C[0,1]\to C[0,1]$ $C^{1}[0,1]$ $C[0,1]$

Koordinatmultiplikationsoperator $A:C_{0}[0,\infty )\to C_{0}[0,\infty )$

A(x)=tx(t)

. Operatörens domän består av funktioner som uppfyller ojämlikheten , där beror på .

A

|x(t)|\leq {\frac {c}{1+t))

c

x(t)

Anteckningar

↑ Yoshida K. Funktionsanalys. - M .: Mir, 1967. - S. 114.

Litteratur

Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Funktionsanalys och dess tillämpningar inom kontinuummekanik. - M . : Vuzovskaya bok, 2000 . — 320 s.
Trenogin V. A. Funktionsanalys. — M .: Nauka , 1980 . — 495 sid.