Positiv operator (Hilbert space)

En positiv operator i ett Hilbert-utrymme är en linjär operator som för något av Hilbert-utrymmena. För en positiv operator använd notationen [1] . Ibland klassificeras inte nolloperatorn som en positiv operator och skrivs om operatorn är positiv och om den är positiv eller noll. [2] $A$ $(Yxa, x) \ge 0$ $x$ $A\ge0$ $A>0$ $A$ $A\ge0$ $A$

En avgränsad positiv operator är självadjoint , och dess spektrum ligger på den positiva halvaxeln , och detta är ett nödvändigt och tillräckligt villkor [1] . En obegränsad positiv operator är symmetrisk och tillåter en självadjoint förlängning, som också är en positiv operator [3] [4] . $[0, \infty)$

Egenskaper

Följande egenskaper gäller för avgränsade linjära operatorer .

Om operatör och reellt tal , då . $A\ge0$ $\alpha \ge 0$ $\alpha A\ge 0$
Om den inversa operatorn också finns, då . $A\ge0$ $A^{{-1}}$ $A^{-1} \ge 0$
$A^* A \ge 0, \, AA^* \ge 0$ för alla linjära operatorer . Särskilt för alla självanslutna operatörer . Därför kan vilken projektionsoperator som helst [2] fungera som ett exempel på en positiv operator . $A$ $A^2 \ge 0$ $A$
Produkten av två permuterbara positiva operatorer är också en positiv operator [5] .
För en positiv operator och alla delar av Hilbert-utrymmet gäller den generaliserade Schwartz-ojämlikheten : $A$ $x,y$

|(A x, y)|^2 \le (A x, x) (A y, y)

[6] .

Kvadratrot

Varje avgränsad positiv operator har en unik positiv kvadratrot , det vill säga en operator sådan att . Om operatorn är inverterbar är den också inverterbar. Kvadratroten pendlar med vilken operator som helst som kan växlas med [7] [8] . $A$ $B$ $B^2 = A$ $A$ $B$ $B$ $A$

Polär expansion

Varje avgränsad linjär operator i ett Hilbert-utrymme har en nedbrytning , där är en positiv operator och är en partiell isometri. Om är en normal operator , då är operatorn i den polära nedbrytningen enhetlig . $T$ $T=UPP$ $P$ $U$ $T$ $U$

Orderrelation

På uppsättningen symmetriska operatorer introduceras en partiell ordningsrelation : eller om operatorn är positiv, med andra ord, för något av Hilbert-utrymmena . Denna orderrelation har följande egenskaper. $A\ge B$ $B \le A$ $A-B$ $(A x, x) \ge (B x, x)$ $x$

Om och , då . $A\ge B$ $C \ge D$ $A + C \ge B + D$
Om och , då . $A\ge B$ $B \ge C$ $A \ge C$
Om och , då . $A\ge B$ $c>0$ $c A \ge c B$
Varje monoton bunden sekvens av symmetriska operatorer konvergerar till någon symmetrisk operator [2] [6] .

Semi-bounded operator

En symmetrisk operator kallas lägre semi-bounded om det finns ett reellt tal så att $S$ $c$

(S x, x) \ge c(x, x)

för någon av operatörens omfattning ; det största av alla värden som denna ojämlikhet gäller kallas operatörens infimum . Den övre semibounded operatorn och dess övre gräns [9] definieras på liknande sätt . $x$ $S$ $c$ $S$

Den positiva operatorn är ett specialfall av en operator som är delvis begränsad nedan. Å andra sidan kan vilken semi-begränsad operator som helst uttryckas i termer av en positiv operator med någon av följande formler: $P$

S = P + cl, \quad S = -P + cl,

var är identitetsoperatören [10] . $jag$

Friedrichs expansion. Vilken semi-bounded symmetrisk operator som helst (särskilt en positiv operator) kan utökas till någon semi-bounded self-adjoint operator , och operatorn kommer att ha samma (övre eller nedre) gräns som [11] . $S$ $A$ $A$ $S$

Fallet med ett ändligt dimensionellt utrymme

En symmetrisk operator (en operator med en symmetrisk matris ) i ett euklidiskt utrymme kallas icke-negativ om för någon . I det här fallet kallas den kvadratiska formen icke -negativ , och operatormatrisen kallas icke- negativ definitiv . $S$ $R$ $(S x, x) \ge 0$ $x\in R$ $(S x, x)$ $S$

En symmetrisk operator kallas positiv definit om för någon vektor från . I det här fallet kallas den kvadratiska formen och operatormatrisen positiv definit . $S$ $x \ne 0$ $R$ $(S x, x) > 0$ $(S x, x)$ $S$

Det är möjligt att avgöra om en matris är positiv eller icke-negativ definitiv med hjälp av Sylvester-kriteriet [12] .

Exempel

Ett exempel på en operatör halvbegränsad nedan är Sturm-Liouville-operatören

A u(x) = -(p(x)u'(x))' + q(x) u(x),

var

p(x) \ge 0, \quad q(x) \ge q_0, \quad (0 \le x \le 1),

om den betraktas i rymden $L_2(0, 1)$ , med hänvisning till definitionsdomänen för funktionen , två gånger kontinuerligt differentierbar och som uppfyller villkoren $u(x)$

u(0) = 0, \quad u'(1) + hu(1) = 0,

där är någon konstant ; funktionerna antas också vara kontinuerliga . Det kan faktiskt verifieras genom direkt beräkning att $h\ge0$ $p(x), p'(x), q(x)$

(A u, u) = hp(1) |u(1)|^2 + \int\limits_0^1 p(x) |u'(x)|^2 dx + \int\limits_0^1 q(x) ) |u(x)|^2 dx \ge \int\limits_0^1 q_0 |u(x)|^2 dx = q_0 (u, u).

Om , då är operatören positiv [11] . $q_0 \ge0$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Rudin U. Funktionsanalys, 1975 , s.12.32.
↑ 1 2 3 Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 317.
↑ Shulman V.S., Lomonosov V.I. Positiv operator // Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - 1216 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
↑ Strängt taget, i fallet med en obegränsad operator, tas olikheten i definitionen för alla från domänen för den symmetriska operatorn , som är tät i hela Hilbertrummet. $(A x, x) \ge 0$ $x$ $A$
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 318.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 104.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 320.
↑ Rudin W. Funktionsanalys, 1975 , s.12.33.
↑ Akhiezer N. I., Glazman I. M. Theory of linear operators in Hilbert space, 1966 .
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 122.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 124.
↑ Gantmakher F. R. Matrix Theory. - Ed. 2:a, ytterligare .. - M . : Nauka, Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1966.

Litteratur

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Element av funktionell analys. - Ed. 2:a, reviderad .. - M . : Nauka, 1965. - 520 sid.
Rudin W. Funktionsanalys. - M . : Mir, 1975. - 444 sid.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Föreläsningar om funktionsanalys. — M .: Mir, 1979. — 592 sid.
Akhiezer N. I. , Glazman I. M. Teori om linjära operatorer i ett Hilbert-rum. - Ed. 2:a, reviderad. och ytterligare .. - Vetenskap, kap. ed. fysik och matematik lit., 1966. - 543 sid.