Monoton sekvens

En monoton sekvens är en sekvens vars element inte minskar med ökande antal, eller omvänt, inte ökar. Sådana sekvenser återfinns ofta i forskning och har ett antal särdrag och ytterligare egenskaper. En sekvens med ett nummer kan inte betraktas som stigande eller fallande.

Definitioner

Låt det finnas en uppsättning där ordningsrelationen introduceras . $X$

En sekvens av element i en mängd kallas icke- minskande om varje element i denna sekvens inte överstiger nästa. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- ej minskande

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1))

En sekvens av element i en mängd kallas icke- ökande om varje nästa element i denna sekvens inte överstiger det föregående. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- icke-ökande

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1))

En sekvens av element i en mängd kallas ökande om varje nästa element i denna sekvens överstiger det föregående. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- ökar

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1))

En sekvens av element i en uppsättning kallas minskande om varje element i denna sekvens överskrider nästa. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- minskar

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1))

En sekvens kallas monoton om den antingen är icke-minskande eller icke-ökande. [ett]

En sekvens kallas strikt monoton om den antingen ökar eller minskar.

Uppenbarligen är en strikt monoton sekvens monoton.

Ibland används en variant av terminologin, där termen "ökande sekvens" betraktas som en synonym för termen "icke-minskande sekvens", och termen "minskande sekvens" betraktas som en synonym för termen "icke-minskande sekvens". ökande sekvens". I ett sådant fall kallas de ökande och minskande sekvenserna från definitionen ovan "strikt ökande" respektive "strikt minskande".

Monotonicitetsintervall

Det kan visa sig att ovanstående villkor inte är uppfyllda för alla nummer utan bara för nummer från ett visst intervall $n\in {\mathbb N}$

I=\{n\in {\mathbb N}\mid N_{{-}}\leqslant n<N_{{+}}\}

(här kan den högra gränsen vändas till oändligheten). I det här fallet kallas sekvensen monoton på intervallet och själva intervallet kallas sekvensens monotoniska intervall . ${\displaystyle N_{+))$ $jag$ $jag$

Exempel

Följden av naturliga tal .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=n$ .
- Startsegment: . $(1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots )$
- Ökande sekvens.
- Består av naturliga tal.
- Begränsad underifrån, inte begränsad från ovan.

Fibonacci-sekvens .
- $x_{n}={\begin{cases}1,&n=1\lor n=2\\x_{{n-1}}+x_{{n-2}},&n\geqslant 3\end{cases} }$
- Startsegment: . $(1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots )$
- Ej avtagande sekvens.
- Består av naturliga tal.
- Begränsad underifrån, inte begränsad från ovan.

Geometrisk progression med bas . $1/2$
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{{n-1))))$ .
- Startsegment: . $(1.1/2.1/4.1/8.1/16,\cdots )$
- Fallande sekvens.
- Består av rationella tal .
- Begränsad på båda sidor.

En sekvens som konvergerar till talet e .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ .
- Startsegment: . $(2.9/4.64/27.625/256,\cdots )$
- Ökande sekvens.
- Består av rationella tal , men konvergerar till ett transcendentalt tal .
- Begränsad på båda sidor.

Följden av rationella tal i formen är inte monoton. Den minskar dock (strikt) på intervallet och (strängt) ökar på intervallet . $x_{n}=\,\!(n-5)^{2}$ $\{1,\,\!2,3,4\}$ $\{n\in {\mathbb N}\mid n\geqslant 5\}$

Egenskaper

Begränsning.
- Varje icke-minskande sekvens är avgränsad underifrån.
- Varje icke-ökande sekvens är avgränsad från ovan.
- Varje monoton sekvens är avgränsad på minst en sida.

En monoton sekvens konvergerar om och endast om den är avgränsad på båda sidor. ( Weierstrass' Bounded Monotone Sequence Theorem )
- En konvergent icke-minskande sekvens avgränsas uppifrån av sin gräns .
- En konvergent icke-ökande sekvens avgränsas underifrån av sin gräns.

Anteckningar

↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 3. Theory of Limits // Matematisk analys / Ed. A.N. Tikhonova . - 3:e uppl. , reviderad och ytterligare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68 - 105. - 672 sid. — ISBN 5-482-00445-7 .

Se även

Monoton funktion