Fibonacci-siffror

Fibonacci-tal (stavning - Fibonacci [2] ) - element i en numerisk sekvens

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 , 10941, … i OEIS ),

där de två första talen är 0 och 1, och varje efterföljande tal är lika med summan av de två föregående talen [3] . Uppkallad efter den medeltida matematikern Leonardo av Pisa (känd som Fibonacci ) [4] .

Det är sant, i vissa böcker, särskilt i äldre[ vad? ] , termen lika med noll utelämnas — då börjar Fibonacci-sekvensen med [5] [6] . $F_{0}$ $F_{1}=F_{2}=1$

Mer formellt ges sekvensen av Fibonacci-tal av en linjär återfallsrelation : $\{F_{n}\}$

{\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2))

, var .

\ n\geqslant 2,\ n\in \mathbb {Z}

Ibland betraktas Fibonacci-tal också för negativa värden som en tvåsidig oändlig sekvens som uppfyller samma återkommande relation. Följaktligen är termer med negativa index lätta att få med den motsvarande "bakåtgående" formeln : $n$ $F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}$

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio	…
$F_{n}$	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	ett	0	ett	ett	2	3	5	åtta	13	21	34	55	…

Det är lätt att se det . ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n))$

Ursprung

Fibonacci-sekvensen var välkänd i det forntida Indien [7] [8] [9] , där den användes inom metriska vetenskaper ( prosodi , med andra ord, versifiering) mycket tidigare än den blev känd i Europa [8] [10] [ 11] .

Ett mönster med längden n kan konstrueras genom att addera S till ett mönster med längden n − 1 , eller L till ett mönster med längden n − 2 — och prosodister har visat att antalet mönster med längden n är summan av de två föregående nummer i sekvensen [9] . Donald Knuth diskuterar denna effekt i Konsten att programmera .

I väst utforskades denna sekvens av Leonardo från Pisa, känd som Fibonacci , i hans verk The Book of the Abacus (1202) [12] [13] . Han anser utvecklingen av en idealiserad (biologiskt orealistisk) population av kaniner, där förutsättningarna är följande: initialt ges ett nyfött par kaniner (hanar och honor); från den andra månaden efter födseln börjar kaniner att para sig och producera ett nytt par kaniner, dessutom varje månad; kaniner dör aldrig [14] [15] , och anger antalet kaninpar på ett år som önskat värde.

I början av den första månaden finns bara ett nyfött par (1) .
I slutet av den första månaden, fortfarande bara ett par kaniner, men redan parat (1).
I slutet av den andra månaden föder det första paret ett nytt par och parar sig igen (2).
I slutet av tredje månaden föder det första paret ytterligare ett nytt par och parar sig, det andra paret parar sig bara (3).
I slutet av den fjärde månaden föder det första paret ytterligare ett nytt par och parar sig, det andra paret föder ett nytt par och parar sig, det tredje paret bara parar sig (5).

I slutet av den :e månaden kommer antalet kaninpar att vara lika med antalet par under föregående månad plus antalet nyfödda par, vilket kommer att vara detsamma som antalet par för två månader sedan, dvs. [16] . Detta problem kan också ha varit det första som modellerade exponentiell befolkningstillväxt . $n$ ${\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1))$

Namnet "Fibonacci-sekvens" användes först av 1800-talsteoretikern Eduard Lucas [17] .

Binets formel

Binets formel uttrycker uttryckligen värdet som en funktion av n : $F_{n}$

F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\ varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},

där - det gyllene snittet och och är rötterna till den karakteristiska ekvationen I allmänhet finns en liknande formel för alla linjära återkommande sekvenser , som är Fibonacci-sekvensen. $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $\varphi$ $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi$ $x^{2}-x-1=0.$

Motivering

[arton]

Låt oss omvandla den karakteristiska ekvationen till formen, multiplicera båda delarna med : - och ersätta i denna summa med , vilket vi kan göra i kraft av den karakteristiska ekvationen. Vi får Sedan fortsätter vi att multiplicera med och transformera , efter den ursprungliga ekvationen: $x^{2}-x-1=0$ $x^{2}=x+1,$ $x$ $x^{3}=x^{2}+x$ $x^{2}$ $x+1$ $x^{3}=x^{2}+x=(x+1)+x=2x+1.$ $x$ $x^{2}$

${\begin{aligned}x^{4}&=2x^{2}+x=2(x+1)+x=\\&=3x+2,\\x^{5}&= 3x^{2}+2x=3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\x^{6}&=5x^{2}+3x=5(x+1)+3x =\\&=8x+5,\\x^{7}&=8x^{2}+5x=8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\&\cdots \end {Justerat}}$

Sålunda bildas en generell ekvation: För att förvandla denna ekvation till en sann likhet och härifrån uttrycka själva Fibonacci-talen, måste du ersätta rötterna och $x^{n}=F_{n}x+F_{n-1}.$ $\varphi$ $-\varphi ^{-1}\colon$

${\begin{cases}\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1},\\(-\varphi )^{-n}=-F_{n}\varphi ^{-1}+F_{n-1},\end{cases}}$

$\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}=F_{n}[\varphi -(-\varphi )^{-1}],\qquad \varphi ^{n}+ (-\varphi )^{-n}\cdot \varphi ^{2}=F_{n-1}(1+\varphi ^{2}),$

$\color {Svart}{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}- ({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n}\right)=F_{n},\qquad {\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\ vänster(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^ {n-1}\right)=F_{n-1}.$

Följd och generalisering

Det följer av Binet-formeln att för alla talet är en avrundning , det vill säga i synnerhet för asymptotikerna $n\geqslant 0$ $F_{n}$ ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}},$ $F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil .$ $n\till\infty$ $F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}.$

Binets formel kan analytiskt fortsätta enligt följande:

F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}} \höger).

I detta fall gäller relationen för alla komplexa tal z . $F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}$

Identiteter

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1.$ [tjugo]

Bevis

Vi bevisar formeln genom induktion på n :

Grund för induktion: $n=0\colon$

$F_{0}=F_{2}-1=0.$

Steg av induktion: låt påståendet för är sant: $n$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1.$

Då måste vi bevisa påståendet för $n+1\colon$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+3}-1.$

Vi låg ute på och

F_{n+3}

F_{n+2}

F_{n+1}\colon

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2}+F_{n+1}-1

Vi förkortar båda delarna med

F_{n+1}\colon

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1,

Q.E.D. ∎

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$ [20] [21]

Bevis

Vi bevisar formeln genom induktion på n :

Grund för induktion: $n=1\colon$

$F_{1}=F_{2}=1.$

Steg av induktion: Låt påståendet vara sant: $n$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$

Då måste vi bevisa påståendet för $n+1\colon$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+2}.$

Vi låg ute på och

F_{2n+2}

F_{2n+1}

F_{2n}\colon

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+1}+F_{2n}.

Vi förkortar båda delarna med

F_{2n+1}\colon

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.

Q.E.D. ∎

$F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1.$ [20] [22]

Denna identitet kan bevisas genom att subtrahera den första från den andra:

{\begin{alignedat}{2}(F_{1}+F_{2}+\dots +F_{{\color {Röd}2}n})-(F_{1}+F_{3} +\dots +F_{2n-1})&=F_{{\color {Red}2}n+2}-1-F_{2n},\\F_{2}+F_{4}+\dots + F_{2n}&=F_{2n+1}-1.\\\end{aligned}}

$F_{n+1}F_{n+2}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}.$ [23]
$F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+ one }$ (se fig.).
$F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}.$ [tjugo]
$F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}.$ [tjugo]
$F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}.$ [24]
$F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}.$
$F_{n+1}=C_{n}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-2}^{2}+\dots$ [25] , där finns binomialkoefficienter . $C_{n}^{k}$

Och mer allmänna formler:

$F_{n+m}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1 }F_{m-1}.$ [26]
$F_{(k+1)n}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}.$
$F_{n}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{nl}.$
Fibonacci-talen representeras av värdena för kontinuanter på en uppsättning enheter: d.v.s. $F_{n+1}=K_{n}(1,\dots ,1),$ $F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots & \ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}$ , såväl som $\ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}},$

där matriserna har storlek och där i är den imaginära enheten .

n\ gånger n

Fibonacci-tal kan uttryckas i termer av Chebyshev-polynom : $F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\vänster({\frac {-i}{2}}\höger),$ $F_{2n+2}=U_{n}\vänster({\frac {3}{2}}\höger).$
För något n , ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n- 1}\end{pmatrix}}.$
Som en konsekvens ger räkning av determinanterna Cassini-identiteten : [27] [28]

(-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.

Förknippat med Cassinis jämlikhet är ett mer allmänt uttalande uppkallat efter Eugène Catalan : $F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2}.$

$F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n)))){2)).$
Detta uttalande är härlett från Cassini-identiteten med hjälp av det grundläggande förhållandet mellan Fibonacci-tal: ${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}(F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2))$ $\Longleftrightarrow$ $0={\color {Red}F_{n+1}}^{2}-{\color {Red}F_{n+1}}F_{n}-(F_{n}^{2} +(-1)^{n}).$

Egenskaper

Den största gemensamma divisorn av två Fibonacci-tal är lika med Fibonacci-talet med index lika med den största gemensamma divisorn av indexen, dvs. $(F_{m},F_{n})=F_{(m,n)}.$
- $F_{m}$ är delbart med om och endast om det är delbart med (förutom ). I synnerhet är delbar med (det vill säga är jämn) endast för är delbar med endast för är delbar med endast för osv. $F_{n}$ $m$ $n$ $n=2$ $F_{m}$ $F_{3}=2$ $m=3k;$ $F_{m}$ $F_{4}=3$ $m=4k;$ $F_{m}$ $F_{5}=5$ $m=5k$
- $F_{m}$ kan bara vara primtal för primtal (med ett undantag för ). Till exempel är talet primtal och dess index 13 är också primtal. Men även om talet är primtal är talet inte alltid primtal, och det minsta motexemplet är . Det är inte känt om uppsättningen av Fibonacci-tal som är primtal är oändlig. $m$ $m=4$ $F_{{13}}=233$ $m$ $F_{m}$ $F_{19}=4181=37\cdot 113.$
Fibonacci-talsekvensen är ett specialfall av den reciproka sekvensen , dess karakteristiska polynom har rötter och $x^{2}-x-1$ $\varphi$ $-{\frac {1}{\varphi )).$
Kvoten är lämpliga fraktioner av det gyllene snittet i synnerhet, ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ $\phi \colon$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .$
Summorna av binomialkoefficienter på diagonalerna i Pascals triangel är Fibonacci-tal på grund av formeln $F_{n+1}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{nk \choose k}.$
År 1964 bevisade J. Cohn ( JHE Cohn ) [29] att de enda perfekta kvadraterna bland Fibonaccitalen är Fibonaccitalen med indexen 0, 1, 2, 12: $F_{0}=0^{2}=0,$ $F_{1}=1^{2}=1,$ $F_{2}=1^{2}=1,$ $F_{12}=12^{2}=144.$
Den genererande funktionen för Fibonacci-talsekvensen är: $x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\summa _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n }={\frac {x}{1-xx^{2}}}$
- I synnerhet 1 / 998,999 = 0,00 100 100 200 300 500 8 0 13 0 21 … _
Uppsättningen av Fibonacci-tal sammanfaller med uppsättningen av icke-negativa värden för polynomet $z(x,y)=2xy^{4}+x^{2}y^{3}-2x^{3}y^{2}-y^{5}-x^{4}y +2y$

på mängden icke-negativa heltal x och y [30] .

Produkten och kvoten av två olika Fibonacci-nummer förutom ett är aldrig ett Fibonacci-nummer.
Perioden för Fibonacci-tal modulo ett naturligt tal kallas Pisanoperioden och betecknas med . Pisanoperioder bildar en sekvens: $n$ $\stift)$ $\stift)$ 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (sekvens A001175 i OEIS ).
- I synnerhet bildar de sista siffrorna i Fibonacci-tal en periodisk sekvens med punkt , det sista siffrorna i Fibonacci-tal bildar en sekvens med punkt , de tre sista siffrorna - med punkt, de fyra sista - med punkt, sista fem - med mens osv. $\pi (10)=60$ $\pi (100)=300$ $\pi (1000)=1500,$ $\pi (10000)=15000,$ $\pi (100000)=150000$
Ett naturligt tal är ett Fibonacci-tal om och endast om eller är en kvadrat [31] . $N$ $5N^{2}+4$ $5N^{2}-4$
Det finns ingen aritmetisk progression av längd större än 3, bestående av Fibonacci-tal [32] .
Fibonaccitalet är lika med antalet tuplar med längden n av nollor och ettor som inte innehåller två intilliggande ettor. I det här fallet är det lika med antalet sådana tupler som börjar från noll och - börjar från en. $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ $F_{{n+1}}$ $F_{n}$
Produkten av alla på varandra följande Fibonacci-tal är delbar med produkten av de första Fibonacci-talen. $n$ $n$
Den oändliga summan av de reciproka fibonaccitalen konvergerar, dess summa ("den reciproka av Fibonacci-konstanten ") är 3,359884...

Variationer och generaliseringar

tribonacci-tal
Fibonacci-tal är ett specialfall av Lucas-sekvenser . $F_{n}=U_{n}(1,-1)$
- Dessutom är deras komplement Lucas-numren . $L_{n}=V_{n}(1,-1)$

I andra områden

Det finns en åsikt att nästan alla påståenden som hittar Fibonacci-tal i naturliga och historiska fenomen är felaktiga - detta är en vanlig myt, som ofta visar sig vara en inexakt passform till det önskade resultatet [34] [35] .

I naturen

Phyllotaxis (bladarrangemang) hos växter beskrivs av Fibonacci-sekvensen, om bladen (knopparna) på en ettårig tillväxt (skott, stjälk) har det så kallade spiralbladsarrangemanget. I det här fallet uttrycks vanligtvis antalet successivt arrangerade blad (knoppar) i en spiral plus en, såväl som antalet fullständiga varv av spiralen runt den årliga tillväxtaxeln (skott, stam) av de första Fibonacci-talen.
Solrosfrön , kottar , blomblad , ananasceller är också ordnade enligt Fibonacci-sekvensen [ 36] [37] [38] [39] .

I konsten

I poesi hittas förhållandet mellan "det gyllene snittet" (gyllene proportionen) oftare, kopplat genom Binet-formeln med Fibonacci-talen. Till exempel i Sh. Rustavelis dikt " Riddaren i panterns hud " och i målningar av konstnärer [40] .

Fibonacci-nummer finns dock både direkt i poesi och i musik [41]

I kodning

I kodningsteorin föreslås stabila så kallade " Fibonacci-koder " [42] och basen för dessa koder är ett irrationellt tal.

Se även

Anteckningar

↑ John Hudson Tiner. Utforska matematikens värld: från uråldriga rekord till de senaste framstegen inom datorer . - New Leaf Publishing Group, 200. - ISBN 978-1-61458-155-0 . (ryska)
↑ Se till exempel T. V. Kropotova, V. G. Podolsky, P. E. Kashargin. Introduktion till högre matematik. — Kazan Federal University Institute of Physics.
↑ Lucas, 1891 , sid. 3.
↑ Fibonacci-nummer // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Beck & Geoghegan (2010) .
↑ Bona, 2011 , sid. 180.
↑ Goonatilake, Susantha (1998), Mot en global vetenskap , Indiana University Press, sid. 126, ISBN 978-0-253-33388-9 , < https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126 >
↑ 1 2 Singh, Parmanand (1985), De så kallade Fibonacci-talen i det antika och medeltida Indien , Historia Mathematica vol. 12(3):229-244 , DOI 10.1016/0315-0860(85)90021-7
↑ 1 2 Knuth, Donald (2006), Konsten att programmera , vol. 4. Generera alla träd - History of Combinatorial Generation, Addison-Wesley, sid. 50, ISBN 978-0-321-33570-8 , < https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms >
↑ Knuth, Donald (1968), Konsten att programmera , vol. 1, Addison Wesley, sid. 100, ISBN 978-81-7758-754-8 , < https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100 >
↑ Livio, 2003 , sid. 197.
↑ Pisano, 2002 , s. 404-405.
↑ Fibonaccis Liber Abaci (Beräkningsbok) . University of Utah (13 december 2009). Tillträdesdatum: 28 november 2018. (obestämd)
↑ Hemenway, Priya. Gudomlig proportion : Phi i konst, natur och vetenskap . - New York: Sterling, 2005. - S. 20-21 . — ISBN 1-4027-3522-7 .
↑ Knott, Dr. Ron Fibonacci-siffrorna och det gyllene avsnittet i naturen - 1 . University of Surrey (25 september 2016). Tillträdesdatum: 27 november 2018. (obestämd)
↑ Knott, Ron Fibonaccis kaniner . University of Surrey Fakulteten för teknik och fysikaliska vetenskaper. (obestämd)
↑ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus , The Mathematical Association of America, sid. 153, ISBN 978-0-88385-506-5
↑ Konsten att lösa problem . artofproblemsolving.com . Hämtad: 9 maj 2021. (obestämd)
↑ Fibonacci-nummer // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Comp. Savin A.P. - 2:a uppl. - M . : Pedagogy , 1989. - S. 312-314. — 352 sid. — ISBN 5715502187 .
↑ 1 2 3 4 5 Teoremet anges i denna fil . (obestämd)
↑ Punkt 23 . (obestämd)
↑ Punkt 24 . (obestämd)
↑ En konsekvens av punkt 36 . (obestämd)
↑ Punkt 30 . (obestämd)
↑ 64 . (obestämd)
↑ Punkt 55 . (obestämd)
↑ bevis på Cassinis identitet . planetmath.org . Tillträdesdatum: 30 maj 2021. (obestämd)
↑ Cassini-identiteten . (obestämd)
↑ JHE Cohn . Kvadratisk Fibonacci-tal etc. , s. 109-113. Arkiverad från originalet den 11 juli 2010. Hämtad 1 juli 2010.
↑ P. Ribenboim. The New Book of Prime Number Records . - Springer, 1996. - S. 193.
↑ Ira Gessel. Problem H-187 // Fibonacci Quarterly. - 1972. - T. 10 . - S. 417-419 .
↑ V. Serpinsky . Uppgift 66 // 250 Problem i elementär talteori . - M . : Utbildning, 1968. - 168 sid.
↑ Hutchison, Luke. Att odla släktträdet: DNA:s kraft för att rekonstruera familjerelationer // Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04): tidskrift. - 2004. - September.
↑ Fibonacci Flim-Flam . Arkiverad 23 april 2012 på Wayback Machine .
↑ Myten som inte kommer att försvinna .
↑ Det gyllene snittet i naturen .
↑ Fibonacci-nummer .
↑ Fibonacci-nummer .
↑ Akimov O.E. Vetenskapens slut .
↑ Voloshinov A. V. Matematik och konst. Moskva: Education, 2000. 400 sid. ISBN 5-09-008033-X
↑ Matematik i poesi och musik
↑ Stakhov A., Sluchenkova A., Shcherbakov I. Da Vinci-koden och Fibonacci-serien. SPB. Förlag: Piter, 2006. 320 sid. ISBN 5-469-01369-3

Litteratur

N. N. Vorobyov. Fibonacci-siffror . - Nauka, 1978. - T. 39. - ( Populära föreläsningar om matematik ).
A. I. Markushevich. returnera sekvenser . - Fru. Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 1950. - Vol. 1. - ( Populära föreläsningar om matematik ).
A.N. Rudakov. Fibonacci-tal och talets enkelhet 2 127 − 1 // Mathematical Education , tredje serien. - 2000. - T. 4 .
Donald Knuth . The Art of Computer Programming, vol. 1. Basic Algorithms = The Art of Computer Programming, vol. 1. Grundläggande algoritmer. - 3:e uppl. - M . : "Williams" , 2006. - S. 720. - ISBN 0-201-89683-4 .
Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . konkret matematik. Grunden för datavetenskap = konkret matematik. En stiftelse för datavetenskap. — M .: Mir ; Binom. Knowledge Lab , 2006. - S. 703. - ISBN 5-94774-560-7 .
Grant Arakelyan. Matematik och det gyllene snittets historia. — M.: Logos, 2014. — S. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0 .
Ball, Keith M (2003), 8: Fibonacci's Rabbits Revisited, Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-11321-0 .
Beck, Matthias & Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics , New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0 .
Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3:e upplagan), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
- Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4th Revised ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0 .
Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
Livio, Mario . The Golden Ratio: The Story of Phi, World 's Most Astonishing Number . — Första handelspocket. — New York City: Broadway Books, 2003. - ISBN 0-7679-0816-3 .
Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres , vol. 1, Paris: Gauthier-Villars, Théorie des nombres in Google Books , < https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft > .
Pisano, Leonardo (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation , Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6

Länkar

De första 300 Fibonacci-numren (engelska) .
Fibonacci-tal i naturen (engelska) .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	NDL : 00923391

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad