Leibniz-serien

Leibniz-serien är en omväxlande serie uppkallad efter den tyske matematikern Leibniz som studerade den (även om denna serie var känd tidigare):

1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac { 1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}} +{\frac {1}{21}}-\cdots =\sum _{{n=0}}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1} }.

Konvergensen av denna serie följer omedelbart av Leibniz teorem för alternerande serier . Leibniz visade att summan av en serie är lika med Denna upptäckt visade för första gången att numret , som ursprungligen definierades i geometrin, i själva verket är en universell matematisk konstant ; i framtiden fick detta faktum ständigt nya bekräftelser. ${\frac {\pi }{4}}.$ $\pi$

Konvergenshastighet

Leibniz-serien konvergerar extremt långsamt. Följande tabell illustrerar graden av konvergens till en serie multiplicerad med 4. $\pi$

n (antal medlemmar i serien)	$4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (delsumma, korrekta tecken är markerade i svart)	Relativ noggrannhet
2	2,666666666666667	0,848826363156775
fyra	2,895238095238095	0,921582908570213
åtta	3,017071817071817 _	0,960363786700453
16	3,079153394197426 _	0,980124966449415
32	3.1 10350273698686	0,990055241612751
64	3.1 25968606973288	0,995026711499770
100	3.1 31592903558553	0,996816980705689
1000	3.14 0592653839793	0,999681690193394
10 000	3,141 492653590043	0,999968169011461
100 000	3.1415 82653589793	0,999996816901138
1 000 000	3.14159 1653589793	0,999999681690114
10 000 000	3.141592 553589793	0,999999968169011
100 000 000	3.1415926 43589793	0,999999996816901
1 000 000 000	3.14159265 2589793	0,999999999681690

Historik

Leibniz-serien är lätt att erhålla genom expansionen av bågtangensen till en Taylor-serie [1] :

\operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots

Vi får Leibniz-serien. $x=1,$

Taylor-serien för bågtangens upptäcktes först av den indiske matematikern Madhava från Sangamagrama , grundaren av Kerala School of Astronomy and Mathematics (XIV-talet). Madhava använde serien [2] [3] för att beräkna antalet . Leibniz-serien med, som visas ovan, konvergerar dock extremt långsamt, så Madhava satte och fick en mycket snabbare konvergent serie [4] : $\pi$ $x=1,$ $x={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}- {\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\dots \right).

Summan av de första 21 termerna ger värdet , och alla tecken, förutom den sista, är korrekta [5] . $3{,}14159265359$

Madhavas och hans lärjungars arbete var inte känt i 1600-talets Europa, och expansionen av bågtangensen återupptäcktes oberoende av James Gregory (1671) och Gottfried Leibniz (1676). Därför föreslår vissa källor att man kallar denna serie för "Madhava-Leibniz-serien" eller "Gregory-Leibniz-serien". Gregory kopplade dock inte ihop denna serie med numret $\pi.$

Acceleration av konvergens

En annan modifiering av Leibniz-serien, som gör den praktiskt lämplig för beräkning , är den parvisa föreningen av termerna i serien. Som ett resultat får vi följande rad: $\pi$

{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1} {4n+3}}\right)=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3))).

För att ytterligare optimera beräkningarna kan du använda Euler-Maclaurin-formeln och använda numeriska integrationsmetoder .

Se även

harmonisk serie

Anteckningar

↑ Fikhtengolts, 2003 , sid. 401.
↑ Paplauskas A. B. Pre-Newtons period av utveckling av oändliga serier. Del I // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka, 1973. - T. XVIII . - S. 104-131 .
↑ CT Rajagopal och MS Rangachari. Om en outnyttjad källa till medeltida Keralese Mathematics (engelska) // Archive for History of Exact Sciences : journal. - 1978. - Juni ( vol. 18 ). - S. 89-102 . - doi : 10.1007/BF00348142 .
↑ Det allestädes närvarande numret "pi", 2007 , sid. 47.
↑ R. C. Gupta. Madhavas och andra medeltida indiska värden av pi // Math . Utbildning. - 1975. - Vol. 9 , nej. 3 . -P.B45 - B48 .

Litteratur

Zhukov A. V. Det allestädes närvarande numret "pi". - 2:a uppl. - M . : Förlag LKI, 2007. - 216 sid. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 2. - 864 sid. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Gregory Series (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad