Villkorlig konvergens

En serie sägs vara villkorligt konvergent om den själv konvergerar och en serie som består av de absoluta värdena för dess termer divergerar. Det vill säga om det finns (och inte är oändligt), men . $\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}a_{n))$ $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|=\infty$

Exempel

De enklaste exemplen på villkorligt konvergenta serier ges genom att alternerande serier minskar i absolut värde . Till exempel en rad

\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2

konvergerar endast villkorligt, eftersom serien av dess absoluta värden - den harmoniska serien - divergerar.

Egenskaper

Om en serie villkorligt konvergerar, så divergerar serien som består av dess positiva och negativa termer.
Genom att ändra ordningen på termerna i en villkorligt konvergent serie kan man få en serie som konvergerar till vilken som helst förutbestämd summa eller divergent ( Riemanns sats ).
När man multiplicerar två villkorligt konvergenta serier term med term, kan en divergent serie erhållas.

Variationer och generaliseringar

Begreppet villkorlig konvergens generaliserar naturligtvis till serier av vektorer , oändliga produkter och även till felaktiga integraler .

Se även

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad