Wiener-serien

Wienerserien  är en ortogonal expansion för icke-linjära funktionaler som är nära besläktad med Volterra-serien och har samma relation till den som den ortogonala polynomexpansionen har till potensserien. Wiener-serien är en diskret analog till Volterra-serien.

Wienerserien har formen

Denna serie omnämns ofta i den matematiska litteraturen som Ito-expansionen (efter den japanske matematikern Kiyoshi Ito ), vilket helt motsvarar den.

Historik

På 1920-talet, i samtal med en elev till den italienske matematikern Vito Volterra , Paul Levi, bekantade sig Norbert Wiener med teorin om analytiska funktionaler. Wiener, i analogi med Lévys teori om att representera Brownsk rörelse i form av integraler av analytiska Volterra-funktioner, använder Volterra-serien för en ungefärlig analys av effekten av radarbrus i en olinjär krets hos en radiomottagare.

Samtidigt formulerar A. N. Kolmogorov problemet med att designa ett optimalt olinjärt prediktivt filter. Idén utvecklas vidare i Kolmogorov-Wieners teori om linjär filtrering [1] [2] .

I början av 1960-talet föreslog D. Gabor ett universellt prediktivt filter med självinställning i inlärningsprocessen [3] ; Filtret implementerar en algoritm för att förutsäga det framtida värdet av en stationär funktion av tid från dess historia genom att hitta de optimala viktkoefficienterna för den utökade prediktionsoperatören. Denna operatör representeras av den diskreta analogen av den kontinuerliga Volterra-serien, Wiener-serien.

Senare använder A. G. Ivakhnenko detta tillvägagångssätt och Wiener-serien i metoden för gruppredovisning av argument , kallar operatören "Kolmogorov-Gabor polynom".

Anteckningar

  1. ↑ Kolmogorov A. N.  Interpolation och extrapolation av stationära slumpmässiga sekvenser // Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Matem., bd 5:1, 1941. - S. 3-14.
  2. ↑ Weiner N. Extrapolationsinterpolationen och utjämningen av stationära tidsserier. I. Willey, NY, 1949. - 290 sid.
  3. ↑ Gabor D., Wilby W. R., Woodcock R. A. Ett universellt icke-linjärt filter, prediktor och simulator som optimerar sig själv genom en inlärningsprocess // Proc. Inst. elektr. Engrs., vol. 108., del B, nr 40, 1961. - S. 85-98.