Ovillkorlig konvergens

I kalkyl sägs en serie i ett Banach-utrymme X vara villkorslöst konvergent om, för en godtycklig permutation, serien är konvergent. $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{n}$ $\sigma :\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{{\sigma (n)))$

Egenskaper

Om serien är ovillkorligt konvergent, så finns det ett unikt element som för en godtycklig permutation $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{n}$ $x\i X,$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{{\sigma (n)}}=x,$ $\sigma :\mathbb{N} \to \mathbb{N} .$
En godtycklig absolut konvergent serie är villkorslöst konvergent, men det omvända är inte sant. Men när X = R n , då på grund av Riemanns teorem , är serien villkorslöst konvergent om och endast om den är absolut konvergent. $\summa x_{n}$
Om är en sekvens av element i Hilbert-utrymmet H , så innebär den ovillkorliga konvergensen av serien $\{x_n\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }\lVert x_{n}\rVert ^{2}<\infty .$

Motsvarande definitioner

Flera ekvivalenta definitioner av ovillkorlig konvergens kan ges: en serie är ovillkorligt konvergent om och endast om:

för en godtycklig sekvens , där , serien är konvergent. $(\varepsilon _{n})_{{n=1}}^{\infty }$ $\varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}$
för en godtycklig sekvens , sådan att , serien är konvergent. $(\alpha _{n})_{{n=1}}^{\infty }$ $\sup _{n}|\alpha _{n}|<\infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}$
för en godtycklig sekvens är serien konvergent. $1\leq k_{1}<k_{2}<\ldots$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{{k_{n}}}$
för en godtycklig finns det en finit delmängd så att för en godtycklig finit delmängd $\varepsilon >0$ $I\subset \mathbb{N} ,$ $\lVert \sum _{i\in J}x_{i}\rVert \,<\varepsilon$ $J\subset \mathbb{N} \setminus I$

Exempel

Låt utrymmet $l^{p}\,,$ ges var är Banach-utrymmet av numeriska sekvenser med normen . Betrakta en sekvens i den där ett värde som inte är noll är på n :e plats. Sedan är serien villkorslöst konvergent, men inte absolut konvergent. $1<p<\infty$ $\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}|^{p}\höger)^{{{\ frac {1}{p}}}}$ $x_{n}=(0,\ldots ,{\frac {1}{n)),0,\ldots ),$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }x_{n}$

Se även

Länkar

Popov Mikhail. Geometri för Banach-utrymmen (otillgänglig länk)
Christopher Heil. En grundteori-primer
Ovillkorlig konvergenspå PlanetMath .

Litteratur

Banakh S.S., Kurs för funktionsanalys (linjära operationer) (otillgänglig länk) , K .: Radyanska Shkola, 1948.
Knopp, Konrad (1956). Oändliga sekvenser och serier. Dover Publikationer. ISBN 978-0486601533 .
Knopp, Konrad (1990). Teori och tillämpning av oändliga serier. Dover Publikationer. ISBN 978-0486661650 .
P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces för analytiker. Cambridge University Press. ISBN 978-0521566759 .