Avrundning

Avrundning är att ersätta ett tal med dess ungefärliga värde (med en viss noggrannhet ), skrivet med färre signifikanta siffror. Modulen för skillnaden mellan talet som ersätts och ersättningstalet kallas avrundningsfelet .

Avrundning används för att representera värden och beräkningsresultat med lika många decimaler som den verkliga mätningen eller beräkningsprecisionen, eller som krävs av den specifika applikationen. Avrundning i manuella beräkningar kan också användas för att förenkla beräkningar i de fall då felet som avrundningsfelet infört inte överskrider gränserna för det tillåtna räknefelet.

Allmän avrundning och terminologi

Avrundningen av ett tal skrivet i positionstalssystemet med M decimaler kan göras "upp till K:te decimalen", där K ≤ M. Med denna avrundning slängs tal i posten till höger (MK) av signifikant siffror och den K:te siffran efter kommatecknet kan ändras (se #Methods ). Terminologi används också för att indikera enheten för den minsta decimalandelen som bevaras för ett avrundat tal, det vill säga "avrundning till tiondelar", "... till hundradelar", "... till tusendelar", etc. (motsvarar avrundning till ett, två, tre och så vidare ytterligare decimaler). Specialfallet där K=0 kallas "avrundning uppåt".
När signifikanta siffror i talets heltalsdel kasseras under avrundning talar de om "avrundning till tiotals" (hundratals, tusentals, och så vidare), förkastande, respektive, ett, två, tre eller flera tecken. Med denna avrundning ersätts de bortkastade siffrorna i talets heltalsdel med nollor.
För tal representerade i normaliserad form talar man om "avrundning till K (signifikanta) siffror". I detta fall behåller numrets mantiss K signifikanta siffror, de återstående siffrorna till höger kasseras.

Metoder

Olika fält kan använda olika metoder för avrundning. I alla dessa metoder sätts de "extra" tecknen till noll (kasseras), och tecknet som föregår dem korrigeras enligt någon regel.

Avrundning till närmaste heltal

Avrundning till närmaste heltal är den vanligaste avrundningen, där ett tal avrundas till ett heltal, modulen för skillnaden med vilken detta tal har ett minimum. I allmänhet, när ett tal i decimalsystemet avrundas uppåt till N:te decimal kan regeln formuleras på följande sätt:

om N+1-tecken < 5 , så behålls det N:te tecknet, och N+1 och alla efterföljande tecken sätts till noll;
om N+1 siffra ≥ 5 , så ökas den N:te siffran med ett, och N+1 och alla efterföljande ställs till noll;

Till exempel: 11,9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3. Det maximala extra absoluta felet som införs av denna avrundning (avrundningsfel) är ±0,5 av den senast lagrade siffran.

Avrundning uppåt

Avrundning uppåt (avrundning uppåt +∞, avrundning uppåt, engelskt tak - lit. "tak") - om tecknen som ska nollställas inte är lika med noll, ökas det föregående tecknet med ett om talet är positivt, eller sparas om siffran är negativ. I ekonomisk jargong - avrundning till förmån för säljaren , borgenär (den person som tar emot pengarna). Speciellt 2,6 → 3, −2,6 → −2. Avrundningsfelet ligger inom +1 från den senast lagrade siffran.

Avrundning nedåt

Avrundning nedåt (avrundning nedåt till −∞, avrundning nedåt, engelsk våning - bokstavligt "golv") - om nolltecknen inte är lika med noll, behålls det föregående tecknet om talet är positivt, eller ökas med ett om talet är negativ. I ekonomisk jargong - avrundning till förmån för köparen , gäldenären (den som ger pengarna). Här 2,6 → 2, −2,6 → −3. Avrundningsfelet ligger inom −1 från den senast lagrade siffran.

Avrundning uppåt modulo

Avrundning uppåt (avrundning mot oändlighet, avrundning bort från noll) är en relativt sällan använd form av avrundning. Om de nollbara tecknen inte är lika med noll, ökas det föregående tecknet med ett. Avrundningsfelet är +1 sista siffran för positiva tal och -1 sista siffran för negativa tal .

Avrundning nedåt modulo

Avrundning till minsta modulo (avrundning till noll, hel engelsk fix, truncate, heltal ) är den mest "enkla" avrundningen, eftersom efter nollställning av de "extra" tecknen bevaras det tidigare tecknet, det vill säga tekniskt sett består det i att kassera extra tecken. Till exempel, 11,9 → 11; -0,9 → 0; −1,1 → −1). Med sådan avrundning kan ett fel införas inom enheten för den senast lagrade siffran, och i den positiva delen av den numeriska axeln är felet alltid negativt och i den negativa delen är det positivt.

Slumpmässig avrundning

Slumpmässig avrundning – avrundning uppåt eller nedåt i slumpmässig ordning, medan sannolikheten för avrundning uppåt är lika med bråkdelen. Denna metod gör ackumuleringen av fel till en slumpvariabel med noll matematisk förväntan .

Alternativ för avrundning 0,5 till närmaste heltal

En separat beskrivning krävs av avrundningsreglerna för specialfallet när (N + 1):e tecknet = 5 och efterföljande tecken är lika med noll . Om i alla andra fall avrundning till närmaste heltal ger ett mindre avrundningsfel, så kännetecknas just detta fall av att det för en enstaka avrundning är formellt likgiltigt om det är "upp" eller "ner" - i båda fallen ett fel införs exakt i 1/2 av den minst signifikanta siffran. Det finns följande varianter av avrundningsregeln till närmaste heltal för detta fall:

Matematisk avrundning - avrundning är alltid uppåt (föregående siffra ökas alltid med en).
Avrundning till närmaste jämna tal (på engelska kallas det engelska banker's rounding - "rounding the banker") - avrundning för detta fall sker till närmaste jämna tal, det vill säga 2,5 → 2; 3,5 → 4.
Slumpmässig avrundning - avrundning uppåt eller nedåt slumpmässigt, men med lika stor sannolikhet (kan användas i statistik).
Alternerande avrundning - avrundning uppåt eller nedåt växelvis.

I alla fall, när (N + 1):e tecknet inte är lika med 5 eller efterföljande tecken inte är lika med noll, sker avrundning enligt de vanliga reglerna: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Matematisk avrundning motsvarar helt enkelt formellt den allmänna avrundningsregeln (se ovan). Dess nackdel är att vid avrundning av ett stort antal värden, som sedan kommer att bearbetas tillsammans, kan ackumuleringen av avrundningsfel uppstå . Ett typiskt exempel: avrundning uppåt till hela rubel summor pengar uttryckt i rubel och kopek. I ett register på 10 000 rader (förutsatt att kopekdelen av varje belopp är ett slumptal med en enhetlig fördelning, vilket vanligtvis är ganska acceptabelt), kommer det att finnas i genomsnitt cirka 100 rader med belopp som innehåller värdet 50 i kopekdelen. När alla sådana linjer är avrundade enligt reglerna för matematisk avrundning "uppåt" blir summan av "totalt" enligt det avrundade registret 50 rubel mer än den exakta.

De andra tre alternativen är just uppfunna för att minska summans totala fel vid avrundning av ett stort antal värden. Avrundning "till närmaste jämna" förutsätter att med ett stort antal avrundade värden som har 0,5 i den avrundade återstoden, i genomsnitt kommer hälften av dem att vara till vänster och hälften till höger om närmaste jämna, och därmed avrundningsfel kommer att avbryta varandra. Strängt taget är detta antagande endast sant när den uppsättning siffror som avrundas har egenskaperna hos en slumpmässig serie, vilket vanligtvis är sant i redovisningstillämpningar där vi talar om priser, belopp på konton och så vidare. Om antagandet kränks kan avrundning "till jämnt" leda till systematiska fel. För sådana fall fungerar följande två metoder bäst.

De två sista avrundningsalternativen säkerställer att ungefär hälften av specialvärdena kommer att avrundas åt ena hållet och hälften åt andra hållet. Men implementeringen av sådana metoder i praktiken kräver ytterligare ansträngningar för att organisera beräkningsprocessen.

Slumpmässig avrundning kräver att ett slumptal genereras för varje avrundad rad. När man använder pseudoslumptal som genereras av en linjär återkommande metod, krävs operationen multiplikation, addition och modulo division för att generera varje tal, vilket avsevärt kan bromsa beräkningar för stora mängder data.
Interfolierad avrundning kräver lagring av en flagga som indikerar åt vilket håll specialvärdet senast avrundades, och byte av värdet på denna flagga med varje operation.

Notation

Operationen att avrunda ett tal x till ett större ( upp ) betecknas enligt följande: . På samma sätt betecknas avrundning nedåt ( nedåt ) med . Dessa symboler (liksom de engelska namnen för dessa operationer - respektive tak och golv , lit. "tak" och "golv") introducerades [1] av K. Iverson i hans verk A Programming Language [2] , som beskrev systemet med matematisk notation, senare utvecklat till APL- programmeringsspråket . Iversons notation för avrundningsoperationer populariserades av D. Knuth i hans bok The Art of Programming [ 3] . $\lceil x\rceil$ $\lgolv x\rgolv$

I analogi betecknas avrundning till närmaste heltal ofta som . I några tidigare och moderna (fram till slutet av 1900-talet) verk angavs avrundning nedåt på detta sätt; denna användning av denna notation går tillbaka till Gauss arbete 1808 (hans tredje bevis på den kvadratiska lagen om ömsesidighet ). Dessutom används samma notation (med en annan betydelse) i Iverson notation . [ett] $\vänster[ x \höger]$

Följande tecken är fixerade i Unicode- standarden :

Namn i Unicode	Kod i Unicode		Se	Mnemonics i HTML 4	Anteckningar
Namn i Unicode	hexadecimal	decimal-	Se	Mnemonics i HTML 4	Anteckningar
VÄNSTER TAK (även APL upstile)	2308	8968	⌈	⌈	inte att förväxla med: U+2E22 ⸢ - Övre vänstra halvfästet U+300C「-vänster hörnfäste
HÖGER TAK	2309	8969	⌉	⌉	inte att förväxla med: U+20E7 ◌⃧ — Kombinerande annuitetssymbol U+2E23 ⸣ - Övre högra halvfäste
VÄNSTER VÅNING (även APL downstile)	230A	8970	⌊	&lgolv;	inte att förväxla med: U+2E24 ⸤
HÖGER VÅNING	230B	8971	⌋	&rgolv;	inte att förväxla med: U+2E25 ⸥ U+300D」-Höger hörnfäste

Applikationer

Avrundning används för att arbeta med siffror inom det antal siffror som motsvarar den faktiska noggrannheten hos beräkningsparametrarna (om dessa värden är verkliga värden mätt på ett eller annat sätt), den realistiskt uppnåbara beräkningsnoggrannheten, eller önskad noggrannhet av resultatet. Tidigare var avrundning av mellanvärden och resultatet av praktisk betydelse (eftersom när man beräknar på papper eller använder primitiva anordningar som kulram , kan man ta hänsyn till extra decimaler allvarligt öka mängden arbete). Nu förblir det en del av vetenskaplig och ingenjörskultur. I redovisningstillämpningar kan dessutom användningen av avrundning, inklusive mellanliggande, krävas för att skydda mot beräkningsfel associerade med den ändliga bitkapaciteten hos beräkningsanordningar.

Dessutom använder vissa studier åldersavrundning för att mäta räkneförmåga . Detta beror på att lågutbildade tenderar att runda sin ålder istället för att ange den exakta åldern. Till exempel, i officiella register över befolkningar med lägre nivåer av humankapital , är ålder 30 vanligare än ålder 31 eller 29 [4] .

Avrundning vid hantering av antal med begränsad precision

Verkliga fysiska storheter mäts alltid med en viss ändlig noggrannhet , vilket beror på instrumenten och mätmetoderna och uppskattas av den maximala relativa eller absoluta avvikelsen av det okända sanna värdet från det uppmätta, vilket i decimalrepresentation av värdet motsvarar antingen ett visst antal signifikanta siffror, eller till en viss position i nummerinmatningen, vars alla siffror efter (till höger) är obetydliga (ligger inom mätfelet ). De uppmätta parametrarna i sig är registrerade med så många tecken att alla siffror är tillförlitliga, kanske den sista är tveksam. Felet i matematiska operationer med antal med begränsad precision bevaras och ändras enligt kända matematiska lagar, så när mellanvärden och resultat med ett stort antal siffror förekommer i ytterligare beräkningar är bara en del av dessa siffror signifikanta. De återstående siffrorna, som finns i värdena, speglar faktiskt inte någon fysisk verklighet och tar bara tid för beräkningar. Som ett resultat avrundas mellanliggande värden och resultat i beräkningar med begränsad noggrannhet till antalet decimaler som återspeglar den faktiska noggrannheten hos de erhållna värdena. I praktiken rekommenderas det vanligtvis att lagra ytterligare en siffra i mellanvärden för långa "kedjade" manuella beräkningar. När man använder en dator förlorar mellanavrundningar i vetenskapliga och tekniska tillämpningar oftast sin betydelse, och endast resultatet avrundas.

Så, till exempel, om en kraft på 5815 gf ges med en noggrannhet på ett gram kraft och en axellängd på 1,40 m med en noggrannhet på en centimeter, då kraftmomentet i kgf enligt formeln , i fallet av en formell beräkning med alla tecken, kommer att vara lika med: 5,815 kgf • 1, 4 m \u003d 8,141 kgf • m . Men om vi tar hänsyn till mätfelet får vi att det begränsande relativa felet för det första värdet är 1/5815 ≈ 1,7•10 −4 , det andra är 1/140 ≈ 7,1•10 −3 , det relativa felet av resultatet enligt operationsfelregelmultiplikationen (vid multiplicering av ungefärliga värden summeras de relativa felen) blir 7,3•10 −3 , vilket motsvarar det maximala absoluta felet för resultatet ±0,059 kgf•m! Det vill säga i verkligheten, med hänsyn till felet, kan resultatet vara från 8,082 till 8,200 kgf•m, så, i det beräknade värdet på 8,141 kgf•m, är bara den första siffran helt tillförlitlig, även den andra är redan tveksam ! Det kommer att vara korrekt att avrunda resultatet av beräkningar till den första tveksamma siffran, det vill säga till tiondelar: 8,1 kgf•m, eller, om nödvändigt, en mer exakt indikation på felmarginalen, presentera den i en form avrundad till ett eller två decimaler med en indikation på felet: 8 ,14 ± 0,06 kgf•m . $M=(mg)\cdot h$

Avrundning av det beräknade felvärdet

Vanligtvis finns bara de första en eller två signifikanta siffrorna kvar i slutvärdet för det beräknade felet. Enligt en av de tillämpade reglerna, om felvärdet börjar med siffrorna 1 eller 2 [5] (enligt en annan regel - 1, 2 eller 3 [6] ), lagras två signifikanta siffror i det, i andra fall - en, till exempel: 0 ,13; 0,26; 0,3; 0,8. Det vill säga att varje decennium av möjliga värden för det avrundade felet är uppdelat i två delar. Nackdelen med denna regel är att det relativa avrundningsfelet ändras signifikant när man går från 0,29 till 0,3. För att eliminera detta föreslås att varje decennium av möjliga felvärden delas upp i tre delar med en mindre skarp förändring i avrundningssteget. Sedan har en serie avrundade felvärden som är tillåtna att använda formen:

0,10; 0,12; 0,14; 0,16; 0,18;
0,20; 0,25; 0,30; 0,35; 0,40; 0,45;
0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.0.

Men när man använder en sådan regel måste de sista siffrorna i själva resultatet, kvar efter avrundning, också motsvara den givna serien [5] .

Omräkning av värdena för fysiska storheter

Omräkningen av värdet av en fysisk kvantitet från ett system av enheter till ett annat måste utföras samtidigt som det ursprungliga värdets noggrannhet bibehålls. För att göra detta bör det ursprungliga värdet i en enhet multipliceras (divideras) med en omvandlingsfaktor, som ofta innehåller ett stort antal signifikanta siffror, och resultatet bör avrundas till antalet signifikanta siffror som säkerställer att det ursprungliga värdet är korrekt. . Till exempel, när man konverterar ett kraftvärde på 96,3 tf till ett värde uttryckt i kilonewton (kN), ska det ursprungliga värdet multipliceras med en omvandlingsfaktor på 9,80665 (1 tf = 9,80665 kN). Resultatet är ett värde på 944,380395 kN, vilket måste avrundas till tre signifikanta siffror. Istället för 96,3 tf får vi 944 kN [7] .

Tumregler för avrundning av aritmetik

I de fall där det inte finns något behov av att noggrant ta hänsyn till beräkningsfel, utan endast en ungefärlig uppskattning av antalet exakta tal som ett resultat av beräkningen med formeln krävs, kan du använda en uppsättning enkla regler för avrundade beräkningar [ 8] :

Alla råvärden avrundas uppåt till den faktiska mätnoggrannheten och registreras med lämpligt antal signifikanta siffror, så att alla siffror i decimalnotation är tillförlitliga (det är tillåtet att den sista siffran är tveksam). Vid behov registreras värden med signifikanta nollor till höger så att det faktiska antalet tillförlitliga tecken indikeras i posten (till exempel om en längd på 1 m faktiskt mäts till närmaste centimeter, är "1,00 m" skrivet så att det kan ses att två tecken är tillförlitliga i posten efter decimaltecknet), eller så är noggrannheten uttryckligen angiven (till exempel 2500 ± 5 m - här är bara tiotals tillförlitliga, och bör avrundas uppåt till dem) .
Mellanvärden avrundas med en "reservsiffra".
När man adderar och subtraherar avrundas resultatet till den sista decimalen av den minst exakta av parametrarna (till exempel när man beräknar ett värde på 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m, avrundas resultatet till tiondelar av en meter, dvs. är till 2,6 m). Samtidigt rekommenderas det att utföra beräkningar i sådan ordning att man undviker att subtrahera tal som är nära i storlek och att utföra operationer på siffror, om möjligt, i stigande ordning för sina moduler.
Vid multiplicering och division avrundas resultatet till det minsta antal signifikanta siffror som faktorerna eller utdelningen och divisorn har. Till exempel, om en kropp med likformig rörelse reste en sträcka av 2,5⋅10 3 meter på 635 sekunder , då vid beräkning av hastigheten, bör resultatet avrundas uppåt till 3,9 m/s , eftersom ett av siffrorna (avståndet) är känt endast med en noggrannhet på två signifikanta siffror. Viktig anmärkning: om en operand under multiplikation eller en divisor under division är ett heltal i betydelse (det vill säga inte resultatet av att mäta en kontinuerlig fysisk storhet med en noggrannhet av heltalsenheter, utan till exempel en kvantitet eller bara en heltalskonstant ), då antalet signifikanta siffror i den är precisionen för resultatet av operationen påverkas inte, och antalet kvarvarande siffror bestäms endast av den andra operanden. Till exempel är den kinetiska energin för en kropp med en massa på 0,325 kg som rör sig med en hastighet av 5,2 m/s lika med $E_{k}={\tfrac {mv^{2}}{2}}={\tfrac {0.325\cdot 5.2^{2}}{2}}=4.394\approx 4.4$ J - avrundad till två decimaler (enligt antalet signifikanta siffror i hastighetsvärdet), och inte till en (divisor av 2 i formeln), eftersom värdet 2 är en heltalsformelkonstant, är det absolut korrekt och påverkar inte noggrannheten i beräkningar (formellt kan en sådan operand betraktas som "mätt med ett oändligt antal signifikanta siffror").
När du höjer till en potens, som ett resultat av beräkningen, bör du lämna lika många signifikanta siffror som basen för graden har.
När man extraherar en rot av vilken grad som helst från ett ungefärligt tal, som ett resultat, bör lika många signifikanta siffror tas som rotnumret har.
Vid beräkning av värdet på en funktion krävs att man uppskattar värdet av modulen för derivatan av denna funktion i närheten av beräkningspunkten. Om , då är resultatet av funktionen exakt med samma decimal som argumentet. Annars innehåller resultatet färre exakta decimaler med , avrundat uppåt till närmaste heltal. $f \left( x \right)$ $\left|f'\left(x\right)\right|\leqslant 1$ $\log _{10}\left(\left|f'\left(x\right)\right|\right)$

Trots bristen på strikthet fungerar ovanstående regler ganska bra i praktiken, i synnerhet på grund av den ganska höga sannolikheten för ömsesidig upphävande av fel, som vanligtvis inte beaktas när fel beaktas korrekt.

Misstag

Ganska ofta förekommer missbruk av icke-runda siffror. Till exempel:

Skriv ner tal som har låg noggrannhet, i oavrundad form. I statistiken: om 4 personer av 17 svarade "ja", så skriver de "23,5%" (medan "24%" är korrekt, eftersom antalet signifikanta siffror i källdata inte är mer än två ).
Pekaranvändare tänker ibland så här: "pekaren stannade mellan 5,5 och 6 närmare 6, låt den vara 5,8" - ett sådant resonemang är felaktigt. ( Kalibreringen av instrumentet motsvarar i regel dess verkliga noggrannhet, det skulle vara korrekt att fixa värdet "6".

Intressant fakta

Carl Friedrich Gauss noterade: "Bristerna med matematisk utbildning manifesteras tydligast i den överdrivna noggrannheten i numeriska beräkningar" [9] .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Floor Function - från Wolfram MathWorld . Hämtad 8 augusti 2015. Arkiverad från originalet 5 september 2015. (obestämd)
↑ Iverson, Kenneth E. Ett programmeringsspråk . - Wiley, 1962. - ISBN 0-471-43014-5 . Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Tillträdesdatum: 8 augusti 2015. Arkiverad från originalet 4 juni 2009. (obestämd)
↑ Knut D. E. Konsten att programmera. Volym 1. Grundläggande algoritmer = Konsten att programmera. Volym 1. Fundamental Algorithms / ed. S. G. Trigub (kap. 1), Yu. G. Gordienko (kap. 2) och I. V. Krasikova (avsnitt 2.5 och 2.6). - 3. - Moskva: Williams, 2002. - T. 1. - 720 sid. — ISBN 5-8459-0080-8 .
↑ A'Hearn, B., J. Baten, D. Crayen (2009). "Quantifying Quantitative Literacy: Age Heaping and the History of Human Capital," Journal of Economic History 69, 783-808.
↑ 1 2 Avrundning av mätresultat . www.metrologie.ru Hämtad 10 augusti 2019. Arkiverad från originalet 16 augusti 2019. (obestämd)
↑ 1.3.2. Regler för avrundning av felvärden och registrering . StudFiles. Hämtad 10 augusti 2019. Arkiverad från originalet 10 augusti 2019. (ryska)
↑ Regler för omräkning av värden för fysiska storheter | Enheter av fysiska storheter . sv777.ru. Hämtad 8 augusti 2019. Arkiverad från originalet 8 augusti 2019. (obestämd)
↑ V. M. Zavarykin, V. G. Zhitomirsky, M. P. Lapchik. Datorteknik och algoritmisering: Introduktionskurs: Lärobok för studenter vid pedagogiska institut i fysik och matematik. - M: Utbildning, 1987. 160 s.: ill.
↑ cit. enligt V. Gilde, Z. Altrichter. "Med en miniräknare i handen." Andra upplagan. Översättning från tyska av Yu. A. Danilov. M: Mir, 1987, s. 64.

Litteratur

Henry S. Warren, Jr. Kapitel 3 Avrundning till Powers of 2 // Algoritmiska knep för programmerare = Hacker's Delight. - M . : "Williams" , 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4 .

Länkar

Standard SEV ST SEV 543-77 "Nummer. Regler för att skriva och ... | Dokipedia . dokipedia.ru. Datum för åtkomst: 8 augusti 2019. Arkiverad 8 augusti 2019. (obestämd)