Lukas sekvens

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 oktober 2020; verifiering kräver 1 redigering .

I matematik är Lucas-sekvenser en familj av par av andra ordningens linjära återkommande sekvenser , först ansett av Edouard Luca .

Lucas-sekvenser är par av sekvenser och , som uppfyller samma återkommande relation med koefficienterna P och Q : $\{U_{n}(P,Q)\}$ $\{V_{n}(P,Q)\}$

U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+ 1 }(P,Q)-Q\cdot U_{n}(P,Q),\,n\geq 0

V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+ 1 }(P,Q)-Q\cdot V_{n}(P,Q),\,n\geq 0

Exempel

Vissa Luke-sekvenser har sina egna namn:

$\{U_{n}(1,-1)\}$ - Fibonacci-siffror
$\{V_{n}(1,-1)\}$ — Lucas siffror
$\{U_{n}(2,-1)\}$ — Pell nummer
$\{V_{n}(2,-1)\}$ - Pell-Luc nummer
$\{U_{n}(3,2)\}$ - Mersennenummer
$\{V_{2^{n}}(3,2)\}$ — Fermat-siffror
$\{U_{n}(1,-2)\}$ är Jacobstahl-numren
$\{U_{n}(2x,1)\}$ — Chebyshev polynom av andra slaget
${\displaystyle \{V_{n}(2x,1)\))$ — Chebyshev polynom av det första slaget multiplicerat med 2

Explicita formler

Det karakteristiska polynomet för Lucas-sekvenser är : $\{U_{n}(P,Q)\}$ $\{V_{n}(P,Q)\}$

x^{2}-P\cdot x+Q.

Dess diskriminant antas vara icke-noll. Rötter till det karakteristiska polynomet $D=P^{2}-4Q$

\alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}

och

\beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}

kan användas för att erhålla explicita formler:

U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n)){\alpha -\beta ))={\frac {\alpha ^{n} -\beta ^{n}}{\sqrt {D}}}

och

V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}.

Vieta-formler kan också uttryckas i formen: $P$ $F$

P=\alpha +\beta ,

Q=\alpha \cdot \beta .

Degenererat skiftläge

Diskriminanten försvinner för ett visst antal . I det här fallet, respektive: $D$ $P=2S,Q=S^{2}$ $S$ $\alpha =\beta =S$

U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1},

V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.

Egenskaper

{\displaystyle DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n))

{\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n))

U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_ {n}}{2}}

{\displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{nm))

U_{2n}=U_{n}V_{n}={\frac {U_{n+1}^{2}-Q^{2}U_{n-1}^{2}}{P }}

V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}

{\displaystyle U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2))

Länkar

V. P. Palamodov. På polynom som bildar en återkommande sekvens av 2:a ordningen // Matematisk utbildning . Andra serien. - 1957. - Utgåva. 1 . — S. 139-147 .
Grant Arakelyan . Matematik och historia om det gyllene snittet . — M.: Logos, 2014, 404 sid. - ISBN 978-5-98704-663-0.