Hel fyrkant

En perfekt kvadrat , också en exakt kvadrat eller ett kvadrattal , är ett tal som är kvadraten av något heltal . Med andra ord är en kvadrat ett heltal, vars kvadratrot extraheras helt. Geometriskt kan ett sådant tal representeras som arean av en kvadrat med en heltalssida.

Till exempel är 9 ett kvadrattal eftersom det kan skrivas som 3 × 3 och representerar också arean av en kvadrat med sidan 3.

Kvadrattalet ingår i kategorin klassiska figurativa tal .

Exempel

Sekvensen av rutor börjar så här:

0, 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 , 256 , 289 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 3 1 676 , 729 , 784 , , 900 , 961841 A000290 i OEIS ) Tabell över rutor

	_0	_ett	_2	_3	_fyra	_5	_6	_7	_åtta	_9
0_	0	ett	fyra	9	16	25	36	49	64	81
ett_	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2_	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3_	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
fyra_	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5_	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6_	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7_	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
åtta_	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9_	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Utsikter och egenskaper

Kvadraten av ett naturligt tal kan representeras som summan av de första udda talen : $n$ $n$

ett:

1=1

4=1+3

...
7:

49=1+3+5+7+9+11+13

...

Ett annat sätt att representera kvadraten på ett naturligt tal: Exempel:
$n^{2}=1+1+2+2+...+(n-1)+(n-1)+n$

ett:

1=1

4=1+1+2

...
fyra:

16=1+1+2+2+3+3+4

...

Summan av kvadraterna av de första naturliga talen beräknas med formeln [1] : $n$

\summa _{{k=1}}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\ frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

Slutsats

Metod 1, gjutningsmetod:

Betrakta summan av kuber av naturliga tal från 1 till :

n+1

\summa _{{k=1}}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\summa _{{k=0}}^{n}(k+1)^ {3}=\summa _{{k=0}}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\summa _{{k=0}}^{n} k^{3}+\summa _{{k=0}}^{n}3k^{2}+\summa _{{k=0}}^{n}3k+\summa _{{k=0} }^{n}1=\summa _{{k=0}}^{n}k^{3}+3\summa _{{k=0}}^{n}k^{2}+3\ summa _{{k=0}}^{n}k+\summa _{{k=0}}^{n}1

Vi får:

(n+1)^{3}=3\summa _{k=0}^{n}k^{2}+3\summa _{k=0}^{n}k+\summa _{ k=0}^{n}1=3\summa _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1 )

Multiplicera med 2 och ordna om:

6\summa _{{k=0}}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1) )(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

(Formeln användes i resonemanget: , vars härledning liknar den angivna)

\sum _{{k=0}}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}

Metod 2, metod för okända koefficienter:

Observera att summan av potensfunktioner kan uttryckas som en potensfunktion. Baserat på detta faktum, låt oss anta:

N

N+1

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D

f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14

Vi får ett system av linjära ekvationer med avseende på de nödvändiga koefficienterna:

{\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\ \end{cases}}

Att lösa det får vi

A={\frac {1}{3)),B={\frac {1}{2)),C={\frac {1}{6)),D=0

På det här sättet:

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2} }n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

En serie omvända kvadrater konvergerar [2] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac { 1}{2^{2}}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Fyra distinkta rutor kan inte bilda en aritmetisk progression . [3] Aritmetiska progressioner av tre kvadrater finns - till exempel: 1 , 25 , 49 .

Varje naturligt tal kan representeras som summan av fyra kvadrater ( Lagranges summa av fyra kvadraters sats ).

4900 är det enda tal > 1 som är både kvadratiskt och pyramidformigt.

Summorna av par av på varandra följande triangulära tal är kvadrattal.

I decimalnotation har kvadrattal följande egenskaper:

Den sista siffran i en kvadrat i decimalnotation kan vara 0, 1, 4, 5, 6 eller 9 ( kvadratiska rester modulo 10).
En kvadrat kan inte sluta med ett udda antal nollor.
En kvadrat är antingen delbar med 4, eller när den divideras med 8 ger en rest av 1. En kvadrat är antingen delbar med 9 eller när den divideras med 3 ger en rest av 1.
De två sista siffrorna i kvadraten i decimalnotation kan vara 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 eller 96 (kvadratiska rester modulo 100). Beroendet av den näst sista siffran i kvadraten på den sista kan representeras i form av följande tabell:

sista siffran	näst sista siffran
0	0
5	2
1, 4, 9	även
6	udda

Geometrisk representation

ett

fyra

9

16

25

Se även

Anteckningar

↑ Några ändliga nummerserier . Math24.ru . Hämtad 14 juni 2019. Arkiverad från originalet 14 juni 2019. (obestämd)
↑ Kokhas K. P. Summan av inversa kvadrater // Matematisk utbildning. - 2004. - Utgåva. 8 . — S. 142–163 .
↑ K. Brown. Inga fyra kvadrater i aritmetisk progression

Litteratur

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Bakom sidorna i en lärobok i matematik: Aritmetik. Algebra. Geometri . - M . : Utbildning, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Deza E., Deza M. Lockiga siffror. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 sid. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Länkar

Curly Numbers Arkiverad 23 november 2018 på Wayback Machine
Figurate Numbers Arkiverade 10 juni 2019 på Wayback Machine på MathWorlds webbplats

lockiga siffror

platt

Klassisk polygonal	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Dodecagonal
Centrerad	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Niovinklad Dekagonal

Pyramidformad	tetraedrisk Fyrkantig pyramidform
mångfasetterad	kubisk Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellad oktaedral

mångfasetterad	Pentatopisk Bisquare