Fyrkant

Fyrkant
Fyrkantig med sida och diagonal $a$ $d$
revben	fyra
Schläfli symbol	{fyra}
Typ av symmetri	Dihedral grupp (D 4 )
Fyrkant	en 2
Inre hörn	90°
Egenskaper
Konvex polygon , Isogonal figur , Isotoxal figur
Mediafiler på Wikimedia Commons

Kvadratisk (av lat. quadratus , fyrkantig [1] ) - regelbunden fyrhörning , det vill säga en platt fyrhörning, där alla vinklar och alla sidor är lika. Varje hörn av kvadraten är en rak linje [2] . $(90^{\circ })$

Definitionsvarianter

En kvadrat kan karakteriseras unikt på många sätt [3] [4] .

En geometrisk figur som är både en rektangel och en romb .
En rektangel med två intilliggande sidor lika långa.
En rektangel vars diagonaler skär varandra i räta vinklar .
En romb vars diagonaler är lika.
En romb vars två angränsande vinklar är lika.
En romb, vars ena vinklar är rät vinkel (andra vinklar, som det är lätt att bevisa, är då också räta).
Parallelogram , där längden på två intilliggande sidor är lika, och vinkeln mellan dem är rätt.
Ett parallellogram vars diagonaler är lika och vinkeln mellan dem är rät.
Deltoid , vars alla vinklar är räta.

Egenskaper

Ytterligare i detta avsnitt , betecknar längden på sidan av kvadraten, - längden på diagonalen , - radien av den omskrivna cirkeln , - radien av den inskrivna cirkeln . $a$ $d$ $R$ $r$

Omkretsen av en kvadrat är: $P$

P=4a=4{\sqrt {2}}R=8r

Kvadratens diagonaler är lika, ömsesidigt vinkelräta, delar skärningspunkten och halverar själva kvadratens hörn (med andra ord, de är halvledarna av kvadratens inre hörn). Längden på varje diagonal $d=a{\sqrt {2}}.$

Inskrivna och omskrivna cirklar

Mitten av de omskrivna och inskrivna cirklarna i en kvadrat sammanfaller med skärningspunkten för dess diagonaler.

Radien för den inskrivna cirkeln av en kvadrat är halva sidan av kvadraten:

r={\frac {a}{2}}.

Radien för den omskrivna cirkeln av en kvadrat är lika med halva kvadratens diagonal:

R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a.

Av dessa formler följer att arean av den omskrivna cirkeln är dubbelt så stor som arean av den inskrivna.

Område

kvadratisk yta
Förbinder vi mittpunkterna på kvadratens sidor får vi en kvadrat på halva arean

Torgets yta är $S$

S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 \över 2}d^{2}

Från formeln som relaterar sidan av en kvadrat till dess area är det tydligt varför att höja ett tal till andra potensen traditionellt kallas " kvadrering ", och resultaten av sådan kvadrering kallas " kvadratnummer " eller helt enkelt kvadrater . På liknande sätt kallas 2:a roten för kvadratroten . $S=a^{2},$

Torget har två anmärkningsvärda egenskaper [5] .

Av alla fyrhörningar med en given omkrets har en kvadrat den största arean.
Av alla fyrhörningar med en given area har kvadraten den minsta omkretsen.

Kvadratisk ekvation

I ett rektangulärt koordinatsystem kan ekvationen för en kvadrat centrerad i en punkt och diagonaler parallella med koordinataxlarna (se figur) skrivas som [6] : $\{x_{0},y_{0}\}$

|x-x_{0}|+|y-y_{0}|=R,

där är radien för den omskrivna cirkeln , lika med halva längden på kvadratens diagonal. Sidan på torget är då dess diagonal och torgets yta är $R$ $R{\sqrt {2)),$ $2R,$ $2R^{2}.$

Ekvationen för en kvadrat centrerad vid origo och sidor parallella med koordinataxlarna (se figur) kan representeras i en av följande former:

$|xy|+|x+y|=a$ (erhålls enkelt genom att applicera en 45° rotation på föregående ekvation)
$\max(x^{2},y^{2})=r^{2}$
(i polära koordinater [7] ) $\quad r(\varphi )=\min \left({\frac {r}{|\cos \varphi |}},{\frac {r}{|\sin \varphi |}}\right)$

Matematiska problem

Det finns ett antal problem förknippade med rutor, av vilka några fortfarande inte har någon lösning.

Att kvadrera en cirkel är ett uråldrigt problem med att konstruera en kvadrat med en kompass och en linjal som är lika i area som en given cirkel . 1882 bevisade Ferdinand Lindemann att detta var omöjligt.

Kvadrering är problemet med att dela upp en kvadrat i ett ändligt antal mindre rutor, utan "hål", och längderna på sidorna på kvadraterna ska skilja sig från varandra (helst ska de alla vara olika). Ett antal lösningar på detta problem har hittats.
Under en lång tid försökte matematiker bevisa att en kontinuerlig kartläggning av ett linjesegment till en kvadrat är omöjligt, tills Giuseppe Peano byggde sitt motexempel .
Toeplitz-förmodan : På vilken Jordan-kurva som helst med slutet plan kan fyra punkter hittas som bildar hörnen på en kvadrat. Inte bevisat eller vederlagt.
Uppdelningen av en kvadrat med ett rutnät av identiska mindre rutor leder också till många problem, som särskilt används i teorin om latinska och grekisk-latinska rutor , magiska rutor , i spelet Sudoku .

Symmetri

Fyrkanten har den största axiella symmetrin bland alla fyrhörningar. Han har:

en symmetriaxel av fjärde ordningen - en axel vinkelrät mot kvadratens plan och passerar genom dess centrum;
fyra symmetriaxlar av andra ordningen (det vill säga med avseende på dem reflekteras kvadraten in i sig själv), av vilka två löper längs kvadratens diagonaler och de andra två löper parallellt med sidorna.

Applikation

I matematik

Enhetskvadraten används som standard för areaenheten , såväl som för att bestämma arean av godtyckliga platta figurer . Siffror för vilka arean kan bestämmas kallas kvadrering .

Pythagoras sats formulerades ursprungligen geometriskt: arean av en kvadrat byggd på hypotenusan är lika med summan av arean av kvadraterna byggda på benen .

Rutorna är ytorna på kuben - en av de fem vanliga polyedrarna .

I matematisk fysik kan en kvadrat betyda " d'Alembert-operatorn " (dalamberian) - en andra ordningens differentialoperator :

{\displaystyle \square u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2 ))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2))}-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2 }u}{\partial t^{2))))

Det följer av Bolyai-Gervins sats att vilken polygon som helst är ekvikonstituerad med en kvadrat, det vill säga den kan skäras till ett ändligt antal delar som utgör en kvadrat (och vice versa) [8] .

Grafer: En komplett graf av K 4 visas ofta som en kvadrat med sex kanter.

3- simplex (3D)

Prydnadsföremål och parketter

Mosaik inklusive rutor

Mosaik, prydnadsföremål och parketter som innehåller rutor är utbredda.

Andra användningsområden

Schackbrädet har formen av en kvadrat och är uppdelad i 64 rutor i två färger. Den fyrkantiga brädan för internationella pjäser är uppdelad i 100 rutor i två färger. Den fyrkantiga formen har en boxningsring , en fyrkant för att spela kvadrat .

Limas fyrkantiga flagga är uppdelad i två svarta och två gula rutor, när den hissas på ett fartyg i hamnen betyder det att fartyget är i karantän .

Grafik

Ett antal symboler är i form av en kvadrat.

Unicode - tecken U+25A0 - U+25CF
U+20DE ◌⃞ KOMBINERADE OMSLUTANDE KVADRATUR
ロ ( japansk karaktär "Ro" (katakana) )
口 ( kinesiskt tecken för "mun" )
囗 ( kinesiskt tecken för "staket" )

I Latex\Box används konstruktionerna eller för att infoga en kvadratisk symbol \square.

I HTML kan du använda konstruktionen för att omsluta godtycklig text i en kvadrat eller rektangel:

<span style="border-style: solid; border-width: 1,5px 1,5px 1,5px 1,5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">text</span>; resultat: text .

Variationer och generaliseringar

Flerdimensionellt utrymme

Fyrkanten kan ses som en tvådimensionell hyperkub .

Icke-euklidisk geometri

I icke-euklidisk geometri är en kvadrat (i vidare bemärkelse) en polygon med fyra lika sidor och lika vinklar. Med storleken på dessa vinklar kan man bedöma planets krökning - i euklidisk geometri och endast i den är vinklarna räta, i sfärisk geometri är vinklarna på en sfärisk kvadrat större än en rät vinkel, i Lobachevsky-geometrin - mindre.

Se även

Anteckningar

↑ Square // Soviet Encyclopedic Dictionary. - 2:a uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - S. 561. - 1600 sid.
↑ Square // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 776. - 1184 sid.
↑ Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. - M. : AST, 2006. - 509 sid. — ISBN 5-17-009554-6 .
↑ 1 2 Kaplun, 2014 , sid. 171-173.
↑ Ponarin Ya. P. Elementär geometri: I 2 volymer - Vol 1: Planimetri, planomvandlingar. - M. : MTSNMO, 2004. - S. 117, 119. - 312 sid. — ISBN 5-94057-171-9 .
↑ Ekvation av en kvadrat i kartesiska koordinater . Hämtad 9 november 2021. Arkiverad från originalet 9 november 2021. (obestämd)
↑ Vad är den polära ekvationen för en kvadrat, om någon?
↑ Boltjanskij V. G. Hilberts tredje problem . — M .: Nauka, 1977. — 208 sid.

Litteratur

Kaplun A. I. Matematik, Pedagogisk och praktisk uppslagsbok. — Rostov n/a. : LLC "Phoenix", 2014. - 240 sid. - ISBN 978-5-222-20926-3 .

Länkar

Kvadratisk, geometrisk figur // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Stor ryss Brockhaus och Efron Litet Brockhaus och Efron V. Dahl Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 16529362t GND : 4129044-6 J9U : 987007529423205171 LCCN : sh85127084

Polygoner

Efter antal sidor

Monogon
Bigon
Triangel
Fyrsidig
Pentagon
Sexhörning
Heptagon
Oktogon
femhörning
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretton
tetradekagon
Pentagon
Sexhörning
Sjutton
oktogon
Nittonagon
Dodecagon
Tjugoensidig
Twenty-two-angle
Twentytrigon
Tjugofyrkantig
Tjugo femhörning
Tjugooktagon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrtio kvadratisk
Forty Bicagon
Pentecostal
Pentecostal
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ sv
Millagon
Tio tusen gon
Hundratusendel
Milliogon
oändlighet

korrekt

konvex	Triangel Fyrkant Pentagon Sexhörning Heptagon Oktogon femhörning tetradekagon Sjutton 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stellate	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trianglar

Fyrhörningar

se även

Schläfli symbol
Polygoner	{ett} {2} {3} {fyra} {5} {6} {7} {åtta} {9} {tio} {elva} {12} {fjorton} {femton} {17} {arton} {tjugo} {trettio} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
stjärnpolygoner	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Plana parketter _	{3,6} {4,4} {6,3}
Vanliga polyedrar och sfäriska parketter	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot polyedrar	{5/2.5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
honungskakor	{4,3,4}
Fyrdimensionella polyedrar	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}