Toeplitz hypotes

Toeplitz-förmodan , även känd som den inskrivna kvadratiska gissningen, är ett olöst problem inom geometri . Formulering av hypotesen:

På vilken Jordan-kurva som helst med slutet plan kan man hitta fyra punkter som ligger vid torgets hörn .

Toeplitz-förmodan är sann för konvexa kurvor , styckvis jämna kurvor och i andra speciella fall. Problemet formulerades av Otto Toeplitz 1911 [1] . Tidiga positiva resultat erhölls av Arnold Emch [2] och Lev Shnirelman [3] . För jämna kurvor är problemet löst. [fyra]

Beskrivning

Låt C vara Jordan-kurvan . En polygon P är inskriven i C om alla hörn av P tillhör C. Det inskrivna kvadratproblemet är:

Är det möjligt att hitta en inskriven ruta på varje Jordan-kurva?

Det kräver inte att kvadratens hörn är i någon speciell ordning.

För vissa kurvor, som cirkel och kvadrat , kan du ange ett oändligt antal inskrivna rutor. Exakt en kvadrat kan skrivas in i en trubbig triangel .

Walter Stromquist bevisade att en kvadrat kan inskrivas i varje lokalt monoton enkel plan kurva [5] . Beviset gäller kurvor C som har den lokala monotoniska egenskapen: för varje punkt p som ligger på C finns det en grannskap U ( p ) så att inget korda av C i det grannskapet är parallellt med en given riktning n ( p ) ( y-axelns riktning). Lokalt monotona kurvor inkluderar alla konvexa kurvor och alla styckevis givna kontinuerligt differentierbara kurvor utan spetsar .

Det jakande svaret är också känt för centralt symmetriska kurvor [6] .

Varianter och generaliseringar

Det är känt att för varje given triangel T och Jordan-kurvan C finns det en triangel som liknar T och inskriven i C [7] [8] . Dessutom är uppsättningen av hörn av sådana trianglar tät i C [9] . I synnerhet finns det alltid en inskriven liksidig triangel . Dessutom kan en rektangel inskrivas i vilken Jordan-kurva som helst .

Vissa generaliseringar av det inskrivna kvadratproblemet handlar om polygoner inskrivna i kurvor. Det finns också generaliseringar för högredimensionella euklidiska utrymmen . Så, Stromquist bevisade att i varje kontinuerlig stängd kurva som uppfyller "villkor A", kan en fyrhörning med lika sidor och lika diagonaler inskrivas; "villkoret A" är att inga två ackord C i motsvarande grannskap av någon punkt får vara vinkelräta [5] . Denna klass av kurvor inkluderar alla C2 - kurvor . Nielsen och Wright bevisade att varje symmetriskt kontinuum innehåller inskrivna rektanglar [6] . Heinrich Guggenheimer bevisade att vilken hyperyta som helst , C 3 - diffeomorphic till sfären S n −1 , innehåller 2 n hörn av en vanlig euklidisk hyperkub [10] .

Anteckningar

  1. ↑ Toeplitz, O. : Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), sid. 197.
  2. ↑ Emch, Arnold (1916), Om några egenskaper hos medianerna för slutna kontinuerliga kurvor som bildas av analytiska bågar , American Journal of Mathematics vol 38 (1): 6–18 , DOI 10.2307/2370541 
  3. ↑ Lev Shnirelman . Om vissa geometriska egenskaper hos slutna kurvor  // Uspekhi Mat . - 1944. - T. 10 . - S. 34-44 .
  4. ↑ The Rectangular Peg Problem , 19 maj 2020 , < https://arxiv.org/abs/2005.09193 > Arkiverad 27 juni 2020 på Wayback Machine 
  5. ↑ 1 2 Stromquist, Walter (1989), Inskrivna kvadrater och kvadratliknande fyrhörningar i slutna kurvor , Mathematika T. 36 (2): 187–197 , DOI 10.1112/S0025579300013061 
  6. ↑ 1 2 Nielsen, Mark J. & Wright, SE (1995), Rectangles inscribed in symmetric continua , Geometriae Dedicata T. 56 (3): 285–297 , DOI 10.1007/BF01263570 
  7. ↑ Meyerson, Mark D. (1980), Liksidiga trianglar och kontinuerliga kurvor, Fundamenta Mathematicae T. 110 (1): 1–9  .
  8. ↑ Kronheimer, EH & Kronheimer, PB (1981), The tripos problem , Journal of the London Mathematical Society , Second Series vol. 24 (1): 182–192 , DOI 10.1112/jlms/s2-24.1.182 
  9. ↑ Nielsen, Mark J. (1992), Triangles inscribed in simple closed curves , Geometriae Dedicata vol 43 (3): 291–297 , DOI 10.1007/BF00151519 
  10. ↑ Guggenheimer, H. (1965), Finita uppsättningar på kurvor och ytor , Israel Journal of Mathematics vol. 3: 104–112 , DOI 10.1007/BF02760036 

Ytterligare läsning

Externa länkar