Konvex kurva
En konvex kurva är en kurva i det euklidiska planet som ligger på ena sidan av någon tangentlinje.
Gränsen för en avgränsad konvex mängd är alltid en konvex kurva.
Definitioner
Definiera med stödrader
Varje rät linje delar det euklidiska planet i två halvplan , som i förening ger hela planet, och vars skärning sammanfaller med , kurvan "ligger på ena sidan av " om den är helt innesluten i ett av dessa halvplan. En plan kurva kallas konvex om den ligger på ena sidan av någon av dess tangentlinjer [1] . Med andra ord är en konvex kurva en kurva som har en stödlinje vid varje punkt på kurvan.
Definition med konvexa uppsättningar
En konvex kurva kan definieras som gränsen för en konvex uppsättning i det euklidiska planet . Det betyder att en konvex kurva alltid är stängd (det vill säga att den inte har några ändpunkter) [2] .
Ibland används en svagare definition där en konvex kurva är en delmängd av gränsen för en konvex mängd. I denna utföringsform kan den konvexa kurvan ha ändpunkter.
Strikt konvex kurva
En strikt konvex kurva är en konvex kurva som inte innehåller segment . På motsvarande sätt är en strikt konvex kurva en kurva som skär vilken linje som helst vid maximalt två punkter [3] [4] , eller en enkel sluten kurva i en konvex position , vilket innebär att ingen punkt på kurvan kan representeras som en konvex kombination vilken annan delmängd som helst av dess punkter.
Egenskaper
Varje konvex kurva har en väldefinierad ändlig längd . Således är en konvex kurva en delmängd av likriktbara kurvor [2] .
Enligt fyra vertex-satsen har varje kurva minst fyra hörn , pekar vid vilka ett lokalt minimum eller maximum av krökning nås [4] [5] .
Parallella tangenter
En sluten kurva är konvex om och endast om det inte finns tre distinkta punkter på kurvan så att tangenterna vid dessa punkter är parallella.
Lutningsvinkelns monotoni
En kurva kallas enkel om den inte skär sig själv. En enkel kurva med sluten reguljär plan är konvex om och endast om dess krökning antingen alltid är positiv eller alltid negativ. Det vill säga, dess lutningsvinkel (tangensvinkeln till kurvan i förhållande till axeln) är en svagt monoton funktion av kurvparametriseringen [1] .
Relaterade siffror
Släta konvexa kurvor med axiell symmetri kallas ibland ovaler [6] . Men i ändlig projektiv geometri definieras ovaler som mängder där vilken punkt som helst har en enda tangent, vilket är sant i euklidisk geometri i fallet med släta strikt konvexa slutna kurvor.
Se även
- Lista över ämnen efter konvexitet
Anteckningar
- ↑ 1 2 A. Grå. Modern differentialgeometri av kurvor och ytor. — 2:a. - New-York: CRC Press, 1997. - S. 163-165. — ISBN 0849371643 .
- ↑ 1 2 V. A. Toponogov. Differentialgeometri av kurvor och ytor: lärobok för universitet. - M . : Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .
- ↑ J. Dieudonne. Avhandling om analys. - New York: Academic Press, 1988. - T. IV. - (Ren och tillämpad matematik). - ISBN 0-12-215504-1 (v.4).
- ↑ 1 2 Christian Bar. Elementär differentialgeometri. - Cambridge University Press, 2010. - S. 49. - ISBN 9780521896719 .
- ↑ D. DeTruck, H. Gluck, D. Pomerleano, DS Vick. The four vertex theorem and its converse // Notices of the American Mathematical Society. - 2007. - T. 54 , nr. 2 . - S. 9268 . — . — arXiv : math/0609268 .
- ↑ Steven Schwartzman. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English . - Mathematical Association of America, 1994. - S. 156 . — (MAA Spectrum). — ISBN 9780883855119 .