Sexhundra celler

Sexhundra celler
Schlegel-diagram : projektion ( perspektiv ) av en sexhundra-cell i tredimensionell rymd
Sorts	Vanlig fyrdimensionell polytop
Schläfli symbol	{3,3,5}
celler	600
ansikten	1200
revben	720
Toppar	120
Vertex figur	icosahedron
Dubbel polytop	120 celler

En vanlig sexhundracell , eller helt enkelt en sexhundra -cell [1] , eller hexakoshihor (från annan grekisk ἑξἀκόσιοι - "sexhundra" och χώρος - "plats, mellanrum"), är en av de sex vanliga multicellerna i fyrdimensionellt utrymme . Dubbel till 120-celler .

Upptäckt av Ludwig Schläfli i mitten av 1850-talet [2] . Schläfli-symbolen för en 600-cell är {3,3,5}.

Beskrivning

Begränsad till 600 tredimensionella celler - identiska vanliga tetraedrar . Vinkeln mellan två intilliggande celler är $\arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\approx 164{,}48^{\circ }.$

Dess 1200 tvådimensionella ansikten är identiska regelbundna trianglar . Varje ansikte delar 2 intilliggande celler.

Den har 720 lika långa revben. Varje kant har 5 ytor och 5 celler.

Har 120 hörn. Varje vertex har 12 kanter, 30 ytor och 20 celler.

I koordinater

En sexhundra cell kan placeras i ett kartesiskt koordinatsystem så att:

8 av dess hörn hade koordinater (dessa hörn är belägna på samma sätt som hörn av en sexton cell ); $(\pm 2;0;0;0),$ $(0;\pm 2;0;0),$ $(0;0;\pm 2;0),$ $(0;0;0;\pm 2)$

Ytterligare 16 hörn är koordinater (de är belägna på samma sätt som tesseraktens hörn ; dessutom ger de tillsammans med de föregående 8 de tjugofyra- celliga hörnen ); $(\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm 1)$

koordinaterna för de återstående 96 hörnen var alla möjliga till och med permutationer av siffror där förhållandet mellan det gyllene snittet är (dessa hörn är belägna på samma sätt som hörnen på den snubnosade tjugofyra cellen ). $(\pm \Phi ;\pm 1;\pm \Phi ^{-1};0),$ $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Ursprunget till koordinaterna kommer att vara multicellens symmetricentrum, såväl som centrum för dess inskrivna, omskrivna och semi-inskrivna tredimensionella hypersfärer . $(0;0;0;0)$

Ortogonala projektioner på ett plan

Metriska egenskaper

Om en sexhundra cell har en längdkant, uttrycks dess fyrdimensionella hypervolym respektive tredimensionella ythyperarea som $a,$

V_{4}={\frac {25}{4}}\left(2+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 26{,}4754249a^{4},

S_{3}=50{\sqrt {2}}a^{3}\approx 70{,}7106781a^{3}.

Radien för den beskrivna tredimensionella hypersfären (som går genom alla hörn i multicellen) blir då lika med

R=\Phi a={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}6180340a,

radien för den yttre halvinskrivna hypersfären (vidrör alla kanter vid deras mittpunkter) —

\rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a,

radie för den inre halvinskrivna hypersfären (berörande alla ansikten i deras centra) —

\rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\approx 1{,}5115226a ,

radie för den inskrivna hypersfären (berör alla celler i deras centra) —

r={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10}}+2{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}4976762a.

Anteckningar

↑ D.K. Bobylev . Fyrdimensionellt utrymme // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 ytterligare). - St Petersburg. 1890-1907.
↑ George Olshevsky. Hexacosichoron // Ordlista för Hyperspace.

Länkar

Weisstein, Eric W. 600 cell på Wolfram MathWorld .

Grundläggande konvexa regelbundna och homogena polytoper i dimensionerna 2–10
Familj	A n	B n	I2 (p) / Dn	E6 / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H4
vanlig polygon	rät triangel	Fyrkant	Vanlig p-gon	Vanlig hexagon	vanlig femhörning
Uniform polyeder	vanlig tetraeder	Vanlig oktaeder • Kub	halv kub		Vanlig dodekaeder • Vanlig ikosaeder
Uniform multicell	Femceller	16-celler • Tesseract	Semitesseract	24-celler	120-celler • 600-celler
Homogen 5-polytop	Vanlig 5-simplex	5-ortoplex • 5-hyperkub	5-semihyperkub
Homogen 6-polytop	Vanlig 6-simplex	6-ortoplex • 6-hyperkub	6-semihyperkub	1 22 • 2 21
Homogen 7-polytop	Vanlig 7-simplex	7-ortoplex • 7-hyperkub	7-semihyperkub	1 32 • 2 31 • 3 21
Homogen 8-polytop	Vanlig 8-simplex	8-ortoplex • 8-hyperkub	8-halv-hyperkub	1 42 • 2 41 • 4 21
Homogen 9-polytop	Vanlig 9-simplex	9-ortoplex • 9-hyperkub	9-semihyperkub
Homogen 10-polytop	Vanlig 10-simplex	10-ortoplex • 10-hyperkub	10-halv-hyperkub
Uniform n - polytop	Vanlig n - simplex	n - ortoplex • n - hyperkub	n - semi-hyperkub	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - femkantig polyeder
Ämnen: Familjer av polytoper • Regelbundna polytoper • Lista över vanliga polytoper och deras sammansättningar

Polyedra

Korrekt

Tredimensionell (platoniska fasta ämnen)	vanlig tetraeder Kub Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Femceller tesserakt Hexadecimal cell tjugofyra celler 120 celler Sexhundra celler
Större dimension (anges inom parentes)	Vanlig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexaeder (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvex

Arkimedeiska fasta ämnen

Katalanska kroppar

Prismor
trekantsprisma fyrkantigt prisma Pentagonal prisma Sexkantigt prisma Heptagonal prisma Åttakantigt prisma Niovinklat prisma Dekagonalt prisma Elvavinklat prisma Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

Formler ,
satser ,
teorier

Övrig

Schläfli symbol
Polygoner	{ett} {2} {3} {fyra} {5} {6} {7} {åtta} {9} {tio} {elva} {12} {fjorton} {femton} {17} {arton} {tjugo} {trettio} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
stjärnpolygoner	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Plana parketter _	{3,6} {4,4} {6,3}
Vanliga polyedrar och sfäriska parketter	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot polyedrar	{5/2.5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
honungskakor	{4,3,4}
Fyrdimensionella polyedrar	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}