En stjärnformad polyeder ( stjärnformad kropp ) är en icke-konvex polyeder vars ansikten skär varandra. Som med icke-stellerade polyedrar är ytor kopplade parvis vid kanterna (i detta fall betraktas inte interna skärningslinjer som kanter).
Stjärnformen för en polyeder är en polyeder som erhålls genom att förlänga ytorna på en given polyeder genom kanter tills deras nästa skärning med andra ytor längs nya kanter.
Regelbundna stjärnpolyedrar är stjärnpolyedrar vars ansikten är identiska ( kongruenta ) regelbundna eller stjärnpolygoner . Till skillnad från de fem klassiska reguljära polyedrarna ( platoniska fasta ämnen ) är dessa polyedrar inte konvexa fasta ämnen.
År 1811 fastställde Augustin Lou Cauchy att det bara finns 4 regelbundna stjärnkroppar (de kallas Kepler-Poinsot-kroppar ), som inte är sammansättningar av platonska och stjärnkroppar. Dessa inkluderar den lilla stjärnformade dodekaedern och den stora stjärndodekaedern som upptäcktes av Johannes Kepler 1619 , såväl som den stora dodekaedern och den stora ikosaedern som upptäcktes 1809 av Louis Poinsot . De återstående regelbundna stellerade polyedrarna är antingen sammansättningar av platoniska fasta ämnen eller föreningar av Kepler-Poinsot-fastämnen [1] .
Halvregelbundna stjärnpolyedrar är stjärnpolyedrar vars ansikten är regelbundna eller stjärnpolygoner , men inte nödvändigtvis samma. I detta fall måste strukturen för alla hörn vara densamma (homogenitetsvillkor). G. Coxeter , M. Longuet-Higgins och J. Miller 1954 listade 53 sådana kroppar och lade fram en hypotes om fullständigheten i deras lista [2] . Först mycket senare, 1969 , lyckades Sopov S.P. bevisa att listan över polyedrar som presenterades av dem verkligen är komplett.
Många former av stjärnformade polyedrar föreslås av naturen själv. Till exempel är snöflingor platta projektioner av stellerade polyedrar. Vissa molekyler har de korrekta strukturerna för tredimensionella figurer.
I dessa figurer är varje ansikte målat med sin egen färg för skönhet och klarhet.
Uniforma polyedrar - regelbundna och halvregelbundna konvexa polyedrar (platoniska och arkimedeiska fasta ämnen); regelbundna och halvregelbundna stjärnpolyedrar kallas gemensamt för enhetliga polyedrar. För dessa kroppar är alla ytor regelbundna polygoner (konvexa eller stjärnformade), och alla hörn är desamma (det vill säga det finns ortogonala transformationer av en polyeder in i sig själv, vilket överför alla hörn till någon annan). Det finns exakt 75 enhetliga polyedrar.
Tetraedern och hexaedern ( kub ) har inte stjärnformer, eftersom deras ansikten inte längre skär varandra när de sträcks ut genom kanter.
Det finns bara en stellation av oktaedern . Den stjärnformade oktaedern upptäcktes av Leonardo da Vinci , som sedan, nästan 100 år senare, återupptäcktes av I. Kepler och döptes av honom till Stella octangula - en åttakantig stjärna. Därför har denna form ett andra namn: "Keplers stella octangula"; i själva verket är det en förening av två tetraedrar.
Dodekaedern har 3 stjärnbilder: liten stjärndodekaeder , stor dodekaeder , stor stjärndodekaeder (stjärnformad stor dodekaeder, slutlig form). Till skillnad från oktaedern är någon av dodekaederns stjärnbilder inte en sammansättning av platoniska fasta ämnen, utan bildar en ny polyeder.
Den stora dodekaederns ansikten är femhörningar som möter fem vid varje vertex. De små stjärnformade och stora stjärnformade dodekaedrarna har ytor - femuddiga stjärnor (pentagram), som i det första fallet konvergerar med 5, och i det andra med 3 ytor i en vertex.
Topparna på den stora stjärnformade dodekaedern sammanfaller med hörnen på den omskrivna dodekaedern.
Ikosaedern har 59 stjärnbilder, varav 32 har fullständig och 27 har ofullständig ikosaedrisk symmetri, vilket bevisades av Coxeter tillsammans med Duval, Flazer och Petrie med användning av restriktionsreglerna som fastställts av J. Miller. En av dessa stellationer (20:e, modell 41 enligt Wenninger), kallad den stora icosahedron (se figur), är en av de fyra vanliga Kepler-Poinsot stellerade polyedrarna . Dess ansikten är regelbundna trianglar som konvergerar vid varje vertex fem; den här egenskapen delas av den stora icosahedron med icosahedron.
Bland stjärnformerna finns också: en sammansättning av fem oktaedrar , en sammansättning av fem tetraedrar , en sammansättning av tio tetraedrar . Den första stjärnbilden är den lilla triambiska ikosaedern .
Om vart och ett av ansiktena fortsätter på obestämd tid, kommer kroppen att omges av ett stort antal fack - delar av rymden som begränsas av ansiktens plan. Alla stjärnformade former av ikosaedern kan erhållas genom att lägga till sådana fack till den ursprungliga kroppen. Bortsett från själva ikosaedern är förlängningarna av dess ansikten åtskilda från rymden med 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 fack i tio olika former och storlekar. Den stora ikosaedern består av alla dessa delar utom de sista sextio. Nästa stjärnform är den sista.
Kuboktaedern har 4 stellationer som uppfyller de begränsningar som Miller införde. Den första av dessa är en kombination av en kub och en oktaeder.
Icosidodecahedron har många stellationer, varav den första är sammansättningen av icosahedron och dodecahedron.
Icosidodecahedron har 32 ytor, varav 12 är regelbundna femkantiga ytor och de återstående 20 är regelbundna trianglar.
Stellation hänvisar till processen att konstruera en polyeder från en annan polyeder genom att expandera dess ytor. För att göra detta dras plan genom ytorna på den ursprungliga polyedern och alla möjliga kanter som erhålls som ett resultat av skärningen av dessa plan övervägs, och lämpliga väljs [4] .
Kuben och tetraedern tillåter inte stellation. Oktaedern har en enda struktur - den stjärnformade oktaedern . Dodekaedern ger tre stjärnformer.
| Stjärnformer av icosahedron | |
|---|---|
| |