Deltahedra

Deltaedern är en polyeder vars alla ansikten är regelbundna trianglar . Namnet är hämtat från den grekiska stora bokstaven delta ( ), som är formad som en liksidig triangel. Det finns oändligt många deltaedrar, men bara åtta av dem är konvexa , och de har 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 och 20 ansikten [1] .

Antalet ytor, kanter och hörn listas nedan för var och en av de åtta deltaedrarna.

Konvex deltahedra

Totalt finns det 8 konvexa deltaedrar [2] , varav 3 är platoniska fasta ämnen och 5 är Johnson-polyedrar .

I en deltaeder med 6 ytor är vissa hörn av grad 3 och några är av grad 4. I deltaedrar med 10, 12, 14 och 16 ytor är vissa hörn av grad 4 och några är av grad 5. Dessa fem oregelbundna deltaedrar tillhör klassen regelbundna polyedrar - konvexa polyedrar med regelbundna polygoner som ytor.

Det finns ingen konvex deltaeder med 18 sidor [3] . En ikosaeder med en sammandragen kant ger dock ett exempel på en oktaeder , som antingen kan göras konvex med 18 oregelbundna ytor, eller med två uppsättningar av tre liksidiga trianglar som ligger i samma plan.

Vanliga deltaedrar
namn Bild Antal
hörn 		Antal
revben 		Antal
ansikten
Vertex- konfiguration 		Symmetrigrupp
vanlig tetraeder fyra 6 fyra 4 x 3 3 T d , [3,3]
Vanlig oktaeder (fyrkantig bipyramid) 6 12 åtta 6× 34 Åh , [ 4,3]
Vanlig ikosaeder 12 trettio tjugo 12× 35 I h , [5,3]
Johnson deltahedra
triangulär bipyramid 5 9 6 2 x 3 3
3 x 3 4 		D 3h , [3,2]
Pentagonal bipyramid 7 femton tio 5 x 3 4
2 x 3 5 		D 5h , [5,2]
skivepitelbiclinoid åtta arton 12 4 x 3 4
4 x 3 5 		D2d , [2,2 ]
Trippelförlängt triangulärt prisma 9 21 fjorton 3 x 3 4
6 x 3 5 		D 3h , [3,2]
Vriden långsträckt fyrkantig bipyramid tio 24 16 2 x 3 4
8 x 3 5 		D4d , [4,2 ]

Icke strikt konvexa fall

Det finns oändligt många deltaedrar med koplanära (som ligger i samma plan) trianglar. Om uppsättningar av koplanära trianglar anses vara en sida, kan färre ytor, kanter och hörn räknas. Coplanära triangulära ytor kan smältas samman till rombiska, trapetsformade, hexagonala eller andra liksidiga polygonala ytor. Varje ansikte måste vara en konvex polymond , såsom , , , , , , och , ... [4]

Några små exempel

Coplanar deltahedra
Bild namn ansikten revben Toppar Vertex-konfigurationer Symmetrigrupp
Extended octahedron
Extension
1 tetra. + 1 okt 		tio femton 7 1 x 3 3
3 x 3 4
3 x 3 5
0 x 3 6 		C 3v , [3]
4 3
 12
Triangulär trapezohedron
Extension
2 tetra. + 1 okt 		12 arton åtta 2 x 3 3
0 x 3 4
6 x 3 5
0 x 3 6 		C 3v , [3]
6 12
Förlängning
2 tetra. + 1 okt 		12 arton åtta 2 x 3 3
1 x 3 4
4 x 3 5
1 x 3 6 		C 2v , [2]
2 2 2

 elva 7
Triangulär stympad pyramid
Extension
3 tetra. + 1 okt 		fjorton 21 9 3 x 3 3
0 x 3 4
3 x 3 5
3 x 3 6 		C 3v , [3]
1 3 1

 9 6
Förlängd oktaeder
Extension
2 tetra. + 2 okt 		16 24 tio 0 x 3 3
4 x 3 4
4 x 3 5
2 x 3 6 		D 2h , [2,2]
4 4
 12 6
Tetrahedron
Extension
4 tetra. + 1 okt 		16 24 tio 4 x 3 3
0 x 3 4
0 x 3 5
6 x 3 6 		T d , [3,3]
fyra 6 fyra
Förlängning
3 tetra. + 2 okt 		arton 27 elva 1 x 3 3
2 x 3 4
5 x 3 5
3 x 3 6 		D 2h , [2,2]
2 1 2 2


 fjorton 9
Icosahedron med sammandragen kant arton 27 elva 0 x 3 3
2 x 3 4
8 x 3 5
1 x 3 6 		C 2v , [2]
12 2
 22 tio
Bi-truncated bipyramid
Extension
6 tetra. + 2 okt 		tjugo trettio 12 0 x 3 3
3 x 3 4
6 x 3 5
3 x 3 6 		D 3h , [3,2]
26 _
 femton 9
Tre-pitched dome
Extension
4 tetra. + 3 okt 		22 33 13 0 x 3 3
3 x 3 4
6 x 3 5
4 x 3 6 		C 3v , [3]
3 3 1 1


 femton 9
Triangulär bipyramid
Extension
8 tetra. + 2 okt 		24 36 fjorton 2 x 3 3
3 x 3 4
0 x 3 5
9 x 3 6 		D 3h , [3]
6 9 5
Hexagonal antiprisma 24 36 fjorton 0 x 3 3
0 x 3 4
12 x 3 5
2 x 3 6 		D 6d , [12,2 + ]
12 2
 24 12
Trunkerad tetraeder
Extension
6 tetrahedron. + 4 okt 		28 42 16 0 x 3 3
0 x 3 4
12 x 3 5
4 x 3 6 		T d , [3,3]
4 4
 arton 12
Tetrakiskuboctahedron
Octahedron
Extension
8 tetra. + 6 okt 		32 24 arton 0 x 3 3
12 x 3 4
0 x 3 5
6 x 3 6 		Åh , [ 4,3]
åtta 12 6

Icke-konvexa deltaedrar

Det finns oändligt många icke-konvexa och toroidala deltaedrar.

Ett exempel på en deltaeder med självkorsande ansikten

Andra icke-konvexa deltaedrar kan erhållas genom att lägga till pyramider till ytorna på alla 5 vanliga polyedrar:

Triakistetraeder Tetrakishexahedron Triakisoctahedron
( stella octangula ) 		Pentakisdodecahedron Triakisicosahedron
12 trianglar 24 trianglar 60 trianglar

Andra förlängningar av tetraedrar:

Exempel: Augmented Tetrahedra
8 trianglar 10 trianglar 12 trianglar

Också genom att lägga till inverterade pyramider till ansiktena:


Skårad dodekaeder
toroidal deltaeder
60 trianglar 48 trianglar

Anteckningar

  1. ↑ Freudenthal, van der Waerden, 1947 , sid. 115–128.
  2. ↑ Konvexa deltaedrar . Hämtad 6 juni 2016. Arkiverad från originalet 26 september 2020.
  3. ↑ Trigg, 1978 , sid. 55–57.
  4. ↑ De konvexa deltahedran och tillåtelsen av Coplanar Faces . Hämtad 13 oktober 2017. Arkiverad från originalet 19 oktober 2015.

Litteratur