Vanlig icosahedron

Vanlig icosahedron
( roterande modell )
Sorts	vanlig polyeder
Kombinatorik
Element	20 ytor 30 kanter 12 hörn X  = 2
Fasett	vanliga trianglar
Vertex-konfiguration	3.3.3.3.3
Dubbel polyeder	vanlig dodekaeder
Vertex figur
Skanna
Klassificering
Notation	jag ST
Schläfli symbol	{3,5}
Wythoff symbol	5 | 2 3
Dynkin diagram
Symmetrigrupp
Rotationsgrupp
kvantitativa data
Fenlängd
Ytarea
Volym
Dihedral vinkel
Gedigen vinkel i spetsen	ons
Mediafiler på Wikimedia Commons

Den regelbundna ikosaedern (från annan grekisk εἴκοσι "tjugo"; ἕδρον "säte", "bas") är en regelbunden konvex polyeder, tjugosidig [1] , en av de platoniska fasta kropparna . Var och en av de 20 ytorna är en liksidig triangel . Antalet kanter är 30, antalet hörn är 12. Ikosaedern har 59 stjärnbilder .

Historik

Euklid i påstående 16 i bok XIII av " Begynnelsen " är engagerad i konstruktionen av en ikosaeder, först erhåller två regelbundna femhörningar som ligger i två parallella plan  - från dess tio hörn, och sedan - de återstående två hörn motsatta varandra [2 ] [3] :127-131 . Pappus av Alexandria i den "matematiska samlingen" är engagerad i konstruktionen av en ikosaeder inskriven i en given sfär , vilket på vägen bevisar att dess tolv hörn ligger i fyra parallella plan och bildar fyra regelbundna trianglar i dem [3] :315-316 [4] .

Grundläggande formler

Ytarea S , volym V av en ikosaeder med kantlängd a , liksom radierna för de inskrivna och omskrivna sfärerna beräknas med formlerna:

Fyrkant:

Volym:

Radie för den inskrivna sfären [5] :

Radien för en halvinskriven sfär är [5]

Radie för den omskrivna sfären [5] :

Egenskaper

• Den dihedriska vinkeln mellan två intilliggande ytor av en icosahedron är arccos(-√5/3) = 138,189685°.
• Alla tolv hörn av icosahedron ligger tre i fyra parallella plan och bildar en regelbunden triangel i var och en av dem .
• Tio hörn av icosahedron ligger i två parallella plan och bildar två regelbundna pentagoner i dem , och de återstående två är motsatta varandra och ligger vid de två ändarna av diametern på den omskrivna sfären, vinkelrätt mot dessa plan. Avståndet mellan de symmetriska paren av de tidigare nämnda planen som bildas av de fem hörnen är lika med radien för cirkeln som beskrivs runt denna femhörning. /denna regel gör det ganska enkelt att skapa en 3D-modell av en vanlig icosahedron/.
• Vinkeln mellan två närmaste hörn i förhållande till mitten av icosahedronens kropp bör kallas icosahedrisk vinkel ≈ 63,434949°
• Icosaedriska vinkelstöd - har icosaedrisk symmetri.
• Den icosahedriska vinkeln är absolut identisk = lika med vinkeln på diagonalen med den mindre sidan av den dubbla (a=n; b=2n) rektangeln /denna regel är tillämplig för att skapa en 3D-modell av en vanlig icosahedron/.
• En ikosaeder kan inskrivas i en kub , medan sex ömsesidigt vinkelräta kanter på ikosaedern kommer att vara placerade på sex ytor av kuben, de återstående 24 kanterna inuti kuben, alla tolv hörn av ikosaedern kommer att ligga på sex ytor av kuben
• En tetraeder kan inskrivas i en icosahedron , så att de fyra hörnen av tetraedern är i linje med de fyra hörnen av icosahedron.
• En icosahedron kan inskrivas i en dodecahedron , med icosahedrons hörn i linje med mitten av dodecahedrons ansikten.
• En dodekaeder kan inskrivas i en ikosaeder med hörn på dodekaedern och mitten av ikonernas ytor i linje.
• Du kan sätta ihop modellen av icosahedron med hjälp av 20 liksidiga trianglar.
• Det är omöjligt att montera en ikosaeder från vanliga tetraedrar, eftersom radien för den omskrivna sfären runt ikosaedern, respektive längden på sidokanten (från spetsen till mitten av en sådan sammansättning) av tetraedern är mindre än kanten av själva ikosaedern. Tetraedrar, erhållna genom att dela ikosaedern, har en ytvinkel på 60°, och den inre (i förhållande till mitten av icosaederns kropp) har en icosahedrisk vinkel på ungefär 63,434949°

Trunkerad icosahedron

Den trunkerade ikosaedern  är en polyeder som består av 12 regelbundna femhörningar och 20 regelbundna sexkanter. Den har en icosaedrisk typ av symmetri. Faktum är att en klassisk fotboll har inte formen av en boll, utan av en stympad ikosaeder med konvexa (sfäriska) ytor.

En stympad icosahedron kan erhållas genom att skära av 12 hörn för att bilda regelbundna femkantytor. Samtidigt ökar antalet hörn av den nya polyedern 5 gånger (12×5=60), 20 triangulära ytor förvandlas till vanliga hexagoner (det totala antalet ytor blir 20+12=32) och antalet kanter ökar till 30+12×5=90.

I världen

• Ikosaedern är den bästa av alla vanliga polyedrar för triangulering av sfären med metoden för rekursiv partitionering [6] . Eftersom det innehåller det största antalet ansikten bland dem, är förvrängningen av de resulterande trianglarna med avseende på de korrekta minimal.
• Ikosaedern används som tärning i bordsrollspel och betecknas d20 (tärningsben).

Fasta ämnen i form av en ikosaeder

• Kapsider av många virus (t.ex. bakteriofager , mimivirus ).

Se även

• stjärnpolyeder

Anteckningar

1. ↑ Selivanov D. F. ,. Geometrisk kropp // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron  : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
2. ↑ Euklids element, bok XIII, påstående 16 . Hämtad 3 september 2014. Arkiverad från originalet 30 augusti 2014. (obestämd)
3. ↑ 1 2 Element av Euklid. Böcker XI-XV . - M. - L .: State Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 1950.  - Förutom översättningen till ryska av Euklids verk innehåller denna upplaga i kommentarerna en översättning av Pappus förslag om vanliga polyedrar.
4. ↑ Originaltext på antik grekiska med en parallell översättning till latin : Pappi Alexandrini Collectionis . - 1876. - Vol. I.—S. 150-157.
5. ↑ 1 2 3 Bevis i: Cobb, John W. The Icosahedron  ( 2005-2007). Hämtad 3 september 2014. Arkiverad från originalet 4 maj 2016.
6. ↑ OpenGL Red Book Ch.2 Arkiverad 8 januari 2015.

Litteratur

• Klein F. Föreläsningar om ikosaedern och lösningen av ekvationer av femte graden / F. Klein; per. med honom. A. L. Gorodentsev, A. A. Kirillov, red. A.N. Tyurin. — M .: Nauka , 1989. — 332 sid. — ISBN 5020141976 .