Oktogon

oktogon
Vanlig oktagon
Sorts	vanlig polygon
revben	$arton$
Schläfli symbol	$\{18\}$ , $\mathrm {t} \{9\}$
Coxeter-Dynkin diagram
Typ av symmetri	Dihedral grupp , beställning 2×18 $(\mathrm {D} _{18})$
Inre hörn	${\displaystyle 160^{\circ ))$
Egenskaper
konvex , inskriven , liksidig , likkantig , isotoxal
Mediafiler på Wikimedia Commons

En artonsidig polygon är en polygon med arton sidor [1] .

Vanlig oktagon

En vanlig oktagon har Schläfli-symbolen och kan konstrueras som en halvregelbunden stympad hexagon , , där två typer av sidor alternerar. $\{18\}$ $\mathrm {t} \{9\}$

Byggnad

Med sidor kan en vanlig oktagon inte konstrueras med hjälp av en kompass och rätsida enligt Gauss-Wanzels sats [2] . Den kan dock byggas med en nevsis eller en vinkeltrisektion med en tomahawk . $18=2\cdot 3^{2}$

Följande ungefärliga konstruktion är mycket nära konstruktionen av en nonagon, eftersom artongonen, som redan nämnts ovan, kan konstrueras genom att trunkera nonagonen. Denna konstruktion kan göras med endast en kompass och en linjal.

Vi minskar vinkeln med fyra delningar på mitten och bygger en tredjedel av bågen med en ungefärlig uppdelning av vinkeln mellan och . $AMC(60^{\circ })$ $MON$ ${\displaystyle \mathrm {w} _{3))$ ${\displaystyle \mathrm {w} _{4))$ För att göra detta drar vi en rät linje genom punkterna och , på denna linje lägger vi åt sidan ett segment lika med , och bygger en punkt på det resulterande segmentet , så att längden är lika med en tredjedel . $O$ $N$ $OP$ $PÅ$ $F$ $ELLER$ $PÅ$ Nu ritar vi en cirkel centrerad i en punkt och hittar skärningspunkten för denna cirkel med en båge och får en punkt . $F$ $NEJ$ $R$ Vi ritar en rät linje genom en punkt och cirkelns centrum . Denna räta linje skär från den ursprungliga cirkeln en båge som är ungefär lika med hela längden på cirkeln. $R$ $M$ $1/18$ $\angle {AMR}=19,9999999994755615...^{\circ }$ Den centrala vinkeln för en vanlig oktagon är , vilket betyder att konstruktionsfelet är $360^{\circ }/18=20^{\circ }$ ${\displaystyle \angle {AMR}-20^{\circ }=-5 244...^{\circ }\cdot 10^{-9))$ Ett exempel som illustrerar konstruktionens noggrannhet: om vi tar en cirkel med en radie på km , blir det absoluta felet för sidolängden ungefär mm . $r=100000$ $-9$ Se även Konstruera en nonagon (på tyska) I konstruktionen som ges på denna plats är vinkeln lika med vinkeln i den givna konstruktionen av oktagonen. ${\displaystyle \angle {JMR))$ $\angle {AMR}$

Symmetri

En vanlig oktagon har en dihedral ordningsgrupp . Det finns typer av undergrupper av dihedrisk symmetri : , ( , ) och ( , ), samt 6 cykliska symmetrigrupper: ( , ), ( , ) och ( , ). $\mathrm {D} _{18}$ $36$ $5$ $\mathrm {D} _{9}$ $\mathrm {D} _{6}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{3))$ $\mathrm {D} _{2}$ $\mathrm {D} _{1}$ $\mathrm {Z} _{18}$ $\mathrm {Z} _{9}$ $\mathrm {Z} _{6}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{3))$ $\mathrm {Z} _{2}$ $\mathrm {Z} _{1}$

På bilden till höger kan du se oktagonens symmetriundergrupper . Conway använde bokstäver för att representera dem, tillsammans med gruppens ordning [3] . Den totala symmetrin för en vanlig figur kommer att vara , och frånvaron av symmetri (det vill säga den triviala gruppen ) markeras som . Dihedriska symmetrier delas av huruvida deras axlar passerar genom hörnen (med bokstaven , från "diagonal") eller genom sidornas mittpunkter (med bokstaven , från "vinkelrät"). Om symmetriaxlarna går genom både sidornas hörn och mittpunkter, används bokstaven . Cykliska grupper är markerade med en bokstav (från "gyration"). $femton$ $\mathrm {r} 36$ $\mathrm {a} 1$ $\mathrm {d}$ $\mathrm {p}$ ${\mathrm {i))$ $\mathrm {g}$

Alla dessa undergrupper kan vara dihedriska grupper av oregelbunden oktagon, och endast undergruppen ger inte frihet i detta avseende, såvida inte polygonens sidor anses ha en riktning, det vill säga som vektorer . $\mathrm {g} 18$

Användning

Regelbunden triangel , nonagon och artongon kan helt omge en punkt på planet, vilket är en av 17 kombinationer av regelbundna polygoner med denna egenskap [4] . Denna kombination kan dock inte användas för en arkimedisk plattsättning av ett plan - triangel och nonagon har ett udda antal sidor, ingen av dessa figurer kan omges av omväxlande två andra typer av polygoner.

Vanliga arton kan kakla planet och lämna konkava sexkantiga luckor. En annan plattsättning använder icke-konvexa oktagoner. Genom att skära av några hörn kan den första plattsättningen förvandlas till en trunkerad hexagonal plattsättning , och den andra till en trunkerad trihexagonal plattsättning .

Andra åttakantiga figurer

Star -gons har symboler . Det finns två vanliga stjärnpolygoner : och . De använder samma hörn men ansluter var femte eller sjunde hörn. Det finns också sammansatta arton: ekvivalent med (två nonagoner ), motsvarande (tre hexagoner ) och motsvarande ( två enneagram ), motsvarande ( liksidiga trianglar), och slutligen lika med (nio bikagoner ). $arton$ ${\displaystyle \{18/n\))$ ${18/5}$ ${\displaystyle \{18/7\))$ $\{18/2\}$ $2\{9\}$ $\{18/3\}$ $3\{6\}$ $\{18/4\}$ $\{18/8\}$ $2\{9/2\}$ $2\{9/4\}$ $\{18/6\}$ $6\{3\}$ $6$ $\{18/9\}$ $9\{2\}$

Sammansatta och stjärnpolygoner
n	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9
Se	Konvex polygon	Sammansatt			stjärnpolygon	Sammansatt	stjärnpolygon	Sammansatt
Bild	$\{18/1\}$ = $\{18\}$	$\{18/2\}$ = $2\{9\}$	$\{18/3\}$ = $3\{6\}$	$\{18/4\}$ = $2\{9/2\}$	$\{18/5\}$	$\{18/6\}$ = $6\{3\}$	${\displaystyle \{18/7\))$	$\{18/8\}$ = $2\{9/4\}$	$\{18/9\}$ = $9\{2\}$
Inre hörn	${\displaystyle 160^{\circ ))$	${\displaystyle 140^{\circ ))$	$120^{\cirkel }$	${\displaystyle 100^{\circ ))$	${\displaystyle 80^{\circ ))$	$60^{\cirkel }$	${\displaystyle 40^{\circ ))$	${\displaystyle 20^{\circ ))$	$0^{\cirkel }$

Djupare trunkationer av en regelbunden polygon och ett regelbundet enneagram ger ekviangulära ( vertex-transitiva ) mellanliggande oktagoner med ekvidistanta hörn och två sidolängder. Andra trunkationer ger dubbel täckning: [5] . $\mathrm {t} \{9/8\}=\{18/8\}=2\{9/4\},\;\mathrm {t} \{9/4\}=\{ 18/4\}=2\{9/2\},\;\mathrm {t} \{9/2\}=\{18/2\}=2\{9\}$

Vertex-transitiva trunkationer av nonagon och enneagram
Kvasikorrekt	isogonal	Kvasi -korrekt Dubbel beläggning
$\mathrm {t} {9}={18}$		$\mathrm {t} {9/8}={18/8}$ $=2{9/4}$
$\mathrm {t} {9/5}={18/5}$		$\mathrm {t} {9/4}={18/4}$ $=2{9/2}$
$\mathrm {t} {9/7}={18/7}$		$\mathrm {t} {9/2}={18/2}$ $=2{9}$

Petrie polygoner

En vanlig oktagon är en Petri-polygon för ett antal polytoper , som visas i sned-ortogonala projektioner på Coxeter-planet :

Artonsidiga petripolygoner
En 17	B9 _		D10 _		E 7
17-simplex	9-ortohedron	Enneract	7 11	171 [ sv	3 21	231 [ sv	> 1 32

Anteckningar

↑ Adams, 1907 , sid. 528.
↑ Conway, 2010 , sid. 31.
↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , sid. 275-278.
↑ Dallas, 1855 , sid. 134.
↑ Grünbaum, 1994 , sid. 35-48.

Litteratur

Henry Adams. Cassells ingenjörshandbok: Bestående av fakta och formler, principer och praxis, inom alla teknikgrenar. - D. McKay, 1907. - S. 528.
John B. Conway. Matematiska kopplingar: En grundstenskurs. - American Mathematical Society, 2010. - P. 31. - ISBN 9780821849798 .
L. Christine Kinsey, Teresa E. Moore. Symmetri, form och ytor: en introduktion till matematik genom geometri. - Springer, 2002. - P. 86. - ISBN 9781930190092 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Kapitel 20, Generaliserade Schaefli-symboler, Typer av symmetri för en polygon // Sakernas symmetrier. - Wellesley, MA: A.K. Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Branko Grünbaum . Den lättare sidan av matematik: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History / Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. - The Mathematical Association of America, 1994. - (MAA Spectrum). — ISBN 0-88385-516-X .
Elmslie William Dallas. Elementen i planens praktiska geometri, etc. - John W. Parker & Son, 1855.

Oktogon

Länkar

Weisstein, Eric W. Octadecagon (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Polygoner

Efter antal sidor

Monogon
Bigon
Triangel
Fyrsidig
Pentagon
Sexhörning
Heptagon
Oktogon
femhörning
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretton
tetradekagon
Pentagon
Sexhörning
Sjutton
oktogon
Nittonagon
Dodecagon
Tjugoensidig
Twenty-two-angle
Twentytrigon
Tjugofyrkantig
Tjugo femhörning
Tjugooktagon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrtio kvadratisk
Forty Bicagon
Pentecostal
Pentecostal
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ sv
Millagon
Tiotusen-gon
Hundratusendel
Milliogon
oändlighet

Korrekt

konvex	Triangel Fyrkant Pentagon Sexhörning Heptagon Oktogon femhörning tetradekagon Sjutton 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stellate	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trianglar

Fyrhörningar

se även

Schläfli symbol
Polygoner	{ett} {2} {3} {fyra} {5} {6} {7} {åtta} {9} {tio} {elva} {12} {fjorton} {femton} {17} {arton} {tjugo} {trettio} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
stjärnpolygoner	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Plana parketter _	{3,6} {4,4} {6,3}
Vanliga polyedrar och sfäriska parketter	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot polyedrar	{5/2.5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
honungskakor	{4,3,4}
Fyrdimensionella polyedrar	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}