Symmetrigrupper

Symmetrigrupp (även symmetrigrupp ) för något objekt (en polyeder eller en uppsättning punkter från ett metriskt utrymme ) är gruppen av alla transformationer för vilka detta objekt är en invariant , med sammansättning som en gruppoperation. Som regel beaktas uppsättningar av punkter av n - dimensionell euklidisk rymd och rörelser i detta rum, men begreppet symmetrigrupp behåller sin betydelse i mer allmänna fall.

Exempel

• Symmetrigruppen för ett segment i endimensionell rymd innehåller två element: identisk transformation och reflektion med avseende på mitten av segmentet. Men i det tvådimensionella euklidiska rummet finns det redan 4 rörelser som omvandlar det givna segmentet till sig självt. I det tredimensionella rummet har ett segment en oändlig uppsättning symmetrier (elementen i symmetrigruppen kommer i synnerhet att vara rotationer genom en godtycklig vinkel runt linjen som innehåller detta segment).
• Symmetrigruppen för en liksidig triangel i ett plan består av en identisk transformation, rotationer med 120° och 240° runt triangelns centrum och reflektioner kring dess höjder. I detta fall består symmetrigruppen av 6 transformationer som utför alla möjliga permutationer av triangelns hörn. Därför är denna grupp isomorf till den symmetriska gruppen S3 . Emellertid har symmetrigruppen i en kvadrat ordning 8, och den symmetriska gruppen S4 är isomorf till symmetrigruppen för en vanlig tetraeder.
• Symmetrigruppen i en skalentriangel är trivial, det vill säga den består av ett element, den identiska transformationen.
• Om vi ​​antar att människokroppen är spegelsymmetrisk, så består dess symmetrigrupp av två element: en identisk transformation och en reflektion kring ett plan som delar kroppen i höger och vänster delar symmetriska med varandra.
• En godtycklig periodisk tessellation av ett plan (eller en prydnad [1] ) har en symmetrigrupp, vars element på alla möjliga sätt kombinerar ett visst fast kakelelement med varje element kongruent med det. Detta är ett speciellt (tvådimensionellt) fall av kristallografiska grupper, som kommer att diskuteras nedan.
• Symmetrigrupper av gitter. Inom olika områden av matematiken används olika begrepp för ett gitter. Särskilt:
  • I fasta tillståndets fysik och teorin om kristallografiska grupper är ett kristallgitter en uppsättning punkter i ett affint utrymme  med translationssymmetri . Symmetrierna för denna uppsättning måste bevara avståndet mellan punkter, det vill säga vara rörelser . Gruppen av dessa rörelser är en kristallografisk grupp (eller surjectively homomorphically maps till en kristallografisk grupp) [2] .
  • I gruppteorin är ett gitter  en grupp isomorf med en bilinjär form på den (i tredimensionella euklidiska rymden motsvarar det Bravais-gittret från teorin om kristallografiska grupper med ett förnämligt ursprung). Symmetrierna för ett sådant gitter måste vara automorfismer av gruppen . Gruppen av sådana automorfismer är, i motsats till den kristallografiska gruppen, ändlig om gallrets bilinjära form motsvarar det euklidiska rummet [3] .
• Symmetrigruppen i en differentialekvation är en grupp av transformationer av variabler som bevarar ekvationens form och därför omvandlar lösningar av ekvationen till lösningar som generellt sett inte sammanfaller med de ursprungliga.

Klassificering

Det antas nedan att för varje punkt är uppsättningen bilder , där  är symmetrigruppen, topologiskt stängd.

Endimensionellt utrymme

Varje rörelse av endimensionell rymd är antingen en överföring av alla punkter på en rät linje till något fast avstånd, eller en reflektion kring någon punkt. Uppsättningen av punkter i endimensionell rymd har en av följande symmetrigrupper:

• trivial grupp C 1
• grupp bestående av identitetstransformation och reflektion kring en punkt (isomorf till den cykliska gruppen C 2 )
• oändliga grupper som består av potenser av någon överföring (isomorf till en oändlig cyklisk grupp)
• oändliga grupper vars generatorer är någon översättning och reflektion med avseende på någon punkt;
• gruppen av alla översättningar (isomorfisk till den additiva gruppen av reella tal)
• gruppen av alla översättningar och reflektioner med avseende på varje punkt på en linje

Tvådimensionellt utrymme

I det tvådimensionella fallet är symmetrigrupperna indelade i följande klasser:

• cykliska grupper C 1 , C 2 , C 3 , … bestående av rotationer runt en fast punkt med vinklar som är delbara med 360°/ n
• dihedriska grupper D 1 , D 2 , D 3 , …
• speciell ortogonal grupp SO(2)
• ortogonal grupp O(2)
• 7 grupper av trottoarkanter
• 17 ornamentgrupp (eller platta kristallografiska grupper )
• oändliga grupper som erhålls från endimensionella symmetrigrupper genom att lägga till translationer längs riktningen vinkelrät mot den ursprungliga linjen
• föregående stycke, till vilket symmetri om den ursprungliga raden läggs till.

Tredimensionellt utrymme

Listan över ändliga symmetrigrupper består av 7 oändliga serier och 7 fall som betraktas separat. Denna lista inkluderar 32-punkts kristallografiska grupper och symmetrigrupper av vanliga polyedrar .

Kontinuerliga symmetrigrupper inkluderar:

• symmetrigrupp av en rät cirkulär kon
• symmetrigrupp av en cirkulär cylinder
• sfärens symmetrigrupp

Se även

• Vanliga polyedrar
• Lista över kristallografiska grupper
• Punktsymmetrigrupp

Anteckningar

1. ↑ Inom matematiken kallas plattsättningen av rymden mosaik eller parkett .
2. ↑ Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Värmekärnor och analys av grenrör, grafer och metriska utrymmen. - AMS, 2003. - S. 288. - ISBN 0-8218-3383-9 .
3. ↑ JH Conway och NJA Sloane. Sfärförpackningar, gitter och grupper . — 3:e uppl. - Springer-Verlag New York, Inc., 1999. - P.  90 . — ISBN 0-387-98585-9 .

Litteratur

• G. Weil. Symmetri. — M .: Nauka, 1968.
• Miller, Willard Jr. Symmetrigrupper och deras tillämpningar . - New York: Academic Press, 1972.