Grupphomomorfism

I matematik , givet två grupper ( G , ∗) och ( H , •), är en grupphomomorfism från ( G , ∗) till ( H , •) en funktion h : G → H så att för alla u och v från G _

h(u*v)=h(u)\cdot h(v),

där gruppoperationen till vänster om "="-tecknet avser gruppen G och operationen till höger avser gruppen H .

Av detta kan vi härleda att h mappar det neutrala elementet e G i gruppen G till det neutrala elementet e H i gruppen H , och även mappar inverser till inverser i den meningen att

h(u^{-1})=h(u)^{-1}.

Således kan h sägas "bevara gruppstrukturen".

I tidigare arbeten kunde h ( x ) betecknas som x h , även om detta kan leda till förväxling med index. På senare tid har det funnits en tendens att utelämna parenteser när man skriver en homomorfism, så att h ( x ) blir bara xh . Denna trend är särskilt märkbar inom områden inom gruppteorin där automatisering tillämpas , eftersom detta stämmer bättre överens med läsningen från vänster till höger av ord som är konventionella i automater.

Inom matematikområden där grupper är utrustade med ytterligare strukturer, förstås ibland en homomorfism som en kartläggning som bevarar inte bara gruppens struktur (enligt ovan), utan även den ytterligare strukturen. Till exempel antas en homomorfism av topologiska grupper ofta vara kontinuerlig.

Koncept

Målet med att definiera en grupphomomorfism är att skapa funktioner som bevarar den algebraiska strukturen. En ekvivalent definition av en grupphomomorfism: En funktion h : G → H är en grupphomomorfism om a ∗ b = c innebär h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ). Med andra ord liknar gruppen H i någon mening den algebraiska strukturen för G , och homomorfismen h bevarar den.

Bild och kärna

Vi definierar kärnan h som uppsättningen av element från G som mappar till ett neutralt element i H

\mathop {\mathrm {Ker} } (h):=\{u\in G:h(u)=e_{H}\}{\mbox{.))

och bild h as

\mathop {\mathrm {Im} } (h):=h(G):=\left\{h(u)\colon u\in G\right\}{\mbox{.))

Kärnan h är en normal undergrupp av G , och bilden av h är en undergrupp av H :

h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)=h(g)^ {-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H}.

En homomorfism h är injektiv (och kallas gruppmonomorfism ) om och endast om ker( h ) = { e G }.

Kärnan och bilden av en homomorfism kan förstås som att mäta hur nära en homomorfism är en isomorfism. Den första isomorfismsatsen säger att bilden av en homomorfism av gruppen h ( G ) är isomorf till kvotgruppen G /ker h .

Exempel

Ta den cykliska gruppen Z /3 Z = {0, 1, 2} och gruppen av heltal Z genom addition. Mappningen h : Z → Z /3 Z med h ( u ) = u mod 3 är en homomorfism. Det är surjektivt och dess kärna består av heltal som är delbart med 3.

Låt oss ta en grupp

G:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}

För alla komplexa tal u definieras funktionen f u : G → C som:

{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}

är en homomorfism.

Låt oss ta en grupp positiva reella tal med multiplikationsoperationen ( R + , ⋅) . För alla komplexa tal u , funktionen f u : R + → C definierad som

f_{u}(a)=a^{u}

är en homomorfism.

Den exponentiella mappningen är en homomorfism från gruppen av reella tal R genom addition till gruppen av reella tal som inte är noll R * genom multiplikation. Kärnan är mängden {0}, och bilden består av reella positiva tal.

Den exponentiella mappningen bildar också en homomorfism från gruppen av komplexa tal C genom addition till gruppen av icke-noll komplexa tal C * genom multiplikation. Denna mappning är surjektiv, dess kärna är mängden {2π ki : k ∈ Z }, vilket kan ses från Eulers formel . Fält som R och C som har en homomorfism från en grupp genom addition till en grupp genom multiplikation kallas exponentiella fält .

Kategorier av grupper

Om h : G → H och k : H → K är grupphomomorfismer, så är k o h : G → K också en homomorfism. Detta visar att klassen av alla grupper, tillsammans med grupphomomorfismer som morfismer, bildar kategorin .

Typer av homomorfa mappningar

Om homomorfismen h är en bijektion , då kan det visas att den omvända kartläggningen också är en grupphomomorfism, och då kallas h en isomorfism . I det här fallet kallas grupperna G och H isomorfa - de skiljer sig endast i beteckningen av element och operationer och är identiska för praktisk användning.

Om h : G → G är en grupphomomorfism, kallar vi det en endomorfism av G . Om det också är bijektivt, och därför är en isomorfism, kallas det en automorfism . Uppsättningen av alla automorfismer i gruppen G med sammansättningen av funktioner som en operation själv bildar en grupp, automorfigruppen av G . Denna grupp betecknas som Aut( G ). Som ett exempel innehåller gruppen automorfism ( Z , +) endast två element (identitetstransformation och multiplikation med −1), och den är isomorf till Z /2 Z .

En epimorfism är en surjektiv homomorfism, det vill säga en homomorfism på . En monomorfism är en injektiv homomorfism, det vill säga en en-till-en homomorfism .

Homomorphisms of Abelian grupper

Om G och H är abelianska (det vill säga kommutativa) grupper, då är mängden Hom( G , H ) av alla homomorfier från G till H i sig en abelisk grupp – summan h + k av två homomorfismer definieras som

( h + k )( u ) = h ( u ) + k ( u ) för alla u från G .

Kommutativiteten för H behövs för att bevisa att h + k återigen är en grupphomomorfism.

Homomorfismer är också kompatibla med sammansättningen av homomorfismer i följande betydelse: om f tillhör Hom( K , G ), h , k är element i Hom( G , H ), och g tillhör Hom( H , L ), då

( h + k ) o f = ( h o f ) + ( k o f ) och g o ( h + k ) = ( g o h ) + ( g o k ).

Detta visar att mängden End( G ) av alla endomorfismer i en Abelisk grupp bildar en ring , endomorfismringen av gruppen G . Till exempel är endomorfismen i en abelisk grupp, som består av den direkta summan m kopior av Z / n Z , isomorf till ringen av m × m matriser med element från Z / n Z . Kompatibiliteten som nämns ovan visar också att kategorin för alla abeliangrupper med homomorfismer bildar en pre- additiv kategori . Förekomsten av direkta summor och kärnor med välkonditionerat beteende gör denna kategori till ett exempel på en abelsk kategori .

Se även

Fundamental homomorphism theorem

Länkar

D.S. Dummit, R. Foote. Abstrakt algebra . - 3. - Wiley, 2004. - S. 71 -72. — ISBN 9780471433347 .
Leng S. Algebra. - Moskva: Mir, 1968.