Euler formel

Eulers formel relaterar den komplexa exponenten till trigonometriska funktioner . Uppkallad efter Leonhard Euler , som introducerade den.

Eulers formel säger att för alla reella tal gäller följande likhet: $x$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

där är en av de viktigaste matematiska konstanterna , definierad av följande formel: , $e$ $e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$

i

är den imaginära enheten .

Historik

Eulers formel citerades först i en artikel av den engelske matematikern Roger Cotes ( Newtons assistent ) "Logometria" ( lat. Logometria ), publicerad i tidskriften " Philosophical Transactions of the Royal Society " 1714 [1] och omtryckt i boken " Måttens harmoni" ( lat. Harmonia mensurarum ), som publicerades 1722, efter författarens död [2] . Kots citerade det som en liten mening bland många geometriska konstruktioner, som, efter att ha översatts till modernt matematiskt språk och korrigerat ett fel i tecknet, har formen [3] :

\ln(\cos x+i\sin x)=ix

Euler publicerade formeln i sin vanliga form i en artikel från 1740 och i boken "Introduction to the analysis of infinitesimals" ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [4] och bygger beviset på jämlikheten mellan oändliga potensserier expansioner av höger och vänster del. Varken Euler eller Kots föreställde sig en geometrisk tolkning av formeln: begreppet komplexa tal som punkter på det komplexa planet dök upp ungefär 50 år senare med K. Wessel .

Derivatformler

Med Euler-formeln kan du definiera funktionerna och enligt följande: $\synd$ $\cos$

\sin x={\frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2i}}

{\textstyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}

Vidare kan vi introducera begreppet trigonometriska funktioner för en komplex variabel. Låt då: $x=iy$

\sin iy={\frac {e^{{-y}}-e^{y}}{2i}}=i{\mathop {{\mathrm {sh}}}}\,y

\cos iy={\frac {e^{{-y}}+e^{y}}{2}}={\mathop ({\mathrm {ch}}}}\,y

Den välkända Euler-identiteten , som relaterar fem grundläggande matematiska konstanter:

e^{{i\pi }}+1=0

är ett specialfall av Eulerformeln för . $x=\pi$

Tillämpningar i talteori

I analytisk talteori betraktas ofta speciella summor av formen , där är en viss uppsättning objekt under övervägande, och är en funktion som återspeglar de studerade egenskaperna hos objekt. $\sum \limits _{x\in X}{e^{2\pi if(x)))$ $X$ $f:\ X\to {\mathbb {R} }$

För talteori, som studerar heltal , är indikatoridentiteterna härledda från Eulers formel för ett godtyckligt heltal av primär betydelse . $n$

\sum \limits _{k=1}^{p}{e^{2\pi {\frac {nk}{p}}i}}=p[p|n]=\left\{{ \begin{matrix}p,&n\equiv 0{\pmod {p}}\\0,&n\inte \equiv 0{\pmod {p}}\end{matrix}}\right.

\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi n\alpha i}}=[n=0]=\left\{{\begin{matrix}1,&n=0 \\0,&n\not =0\end{matrix}}\right.

Applikation i komplex analys

Tack vare Eulers formel dök den så kallade trigonometriska och exponentiella posten av ett komplext tal upp :. $x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{{i\varphi }}$

Formlerna för att höja ett komplext tal till en godtycklig potens kan också betraktas som en betydande konsekvens: , . Den geometriska innebörden av denna formel är följande: när ett tal höjs till en makt , höjs dess avstånd till mitten till en makt , och rotationsvinkeln i förhållande till axeln ökar med en faktor. $x=|x|e^{{i\varphi }}$ $x^{n}=|x|^{n}e^{{ni\varphi }}$ $x$ $n$ $n$ $OXE$ $n$

Exponentieringsformeln gäller inte bara för heltal utan även för reella. I synnerhet låter den exponentiella notationen av ett tal en hitta rötter av vilken grad som helst från vilket komplext tal som helst. $n$

Relation med trigonometri

Eulers formel ger en koppling mellan kalkyl och trigonometri , och tillåter även sinus- och cosinusfunktionerna att tolkas som viktade summor av en exponentialfunktion :

{\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}+e^{-ix} \över 2))

{\textstyle \sin x=\mathrm {Im} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}

Ovanstående ekvationer kan erhållas genom att addera eller subtrahera Eulers formler :

e^{{ix}}=\cos x+i\sin x\;

{\textstil e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos xi\sin x\;}

följt av en sinus- eller cosinuslösning.

Dessa formler kan också fungera som en definition av trigonometriska funktioner för en komplex variabel. Om du till exempel ersätter x = iy , får vi :

\cos(iy)={e^{{-y}}+e^{{y}} \over 2}=\cosh(y)

\sin(iy)={e^{{-y}}-e^{{y}} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{{y}}-e^{{-y }} \över 2}=i\sinh(y).

Komplexa exponentialer förenklar trigonometriska beräkningar eftersom de är lättare att manipulera än sinusformade komponenter. Ett tillvägagångssätt innebär att konvertera sinusoider till motsvarande exponentiella uttryck. Efter förenkling förblir resultatet av uttrycket verkligt. Till exempel :

{\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}{2}}\cdot {\frac {(e ^{{iy}}+e^{{-iy}})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{{i(x+y )}}+e^{{i(xy)}}+e^{{i(-x+y)}}+e^{{i(-xy)}}}{2}}\\&={ \frac {1}{2}}\left[\underbrace {{\frac {e^{{i(x+y)}}+e^{{-i(x+y)}}}{2}} }_{{\cos(x+y)}}+\underbrace {{\frac {e^{{i(xy)}}+e^{{-i(xy)}}}{2}}}_ {{\cos(xy)}}\right].\end{aligned}}

Kärnan i ett annat tillvägagångssätt är att representera sinusoider som verkliga delar av ett komplext uttryck och att manipulera direkt med ett komplext uttryck. Till exempel :

{\begin{aligned}\cos(nx)&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{inx}}\ \}={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i( n-1)x}}\cdot e^{{ix}}\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot (e ^{{ix}}+e^{{-ix}}-e^{{-ix}})\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n- 1)x}}\cdot \underbrace {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}_{{2\cos(x)}}-e^{{i(n-2 )x}}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}

Denna formel används för att rekursivt beräkna cos( nx )-värden för heltal n -värden och godtyckliga x -värden (i radianer).

Bevis

Beviset för Eulers formel kan göras med hjälp av Maclaurin-serien . Låt oss utöka funktionen i Taylor-serien i närheten av punkten a = 0 (i Maclaurin-serien) i potenser av . Vi får: $e^{{ix}}$ $x$

$e^{{ix}}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3 }}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\ frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!} }+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)$

Men

$1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+ \ldots=\cos x$

${\frac {x}{1!)}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!)}}-{\frac { x^ {7}}{7!}}+\ldots =\sin x$

Därför , vilket krävdes bevisas . $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Visuell demonstration

Det är känt att . Följande bilder illustrerar att gränsen är lika med en punkt som ligger på enhetscirkeln, och längden på bågen från denna punkt till punkt 1 är . Detta beror i synnerhet på det faktum att . $e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ $e^{i\varphi }=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {i\varphi}{n}}\right)^{n}$ $\varphi$ $\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=8
n=16

Processen av förändring vid förändring kan också visuellt demonstreras genom derivatan . Det är välkänt att och Samma faktum förblir sant för funktionens komplexa värde. Med tanke på funktionen får vi . Eftersom multiplikation med i den geometriska representationen av komplexa tal liknar att vrida med 90 grader, kommer den grafiska representationen av funktionen och dess derivata att likna ritningen av centripetalkraftens verkan , för vilken den fysiska betydelsen är känd. ${\displaystyle e^{\varphi i))$ $\varphi$ $\left({e^{x}}\right)'=e^{x}$ ${\displaystyle \left({e^{f(x)}}\right)'=f'(x)e^{f(x)))$ ${\displaystyle f(\varphi )=e^{\varphi i))$ $f'(\varphi )=if(\varphi )$ $i$ ${\displaystyle f(\varphi )=e^{\varphi i))$

Den exponentiella formen av ett komplext tal

De exponentiella och trigonometriska formerna av komplexa tal är sammanlänkade med Eulers formel.

Låt ett komplext tal i trigonometrisk form ha formen . Baserat på Euler-formeln kan uttrycket inom parentes ersättas med ett exponentiellt uttryck. Som ett resultat får vi: $z$ $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

z=re^{{i\varphi }}

Denna notation kallas exponentiell form av det komplexa talet. Precis som i trigonometrisk form, här , . $r=|z|$ $\varphi =\arg z$

Anteckningar

↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : tidskrift. - 1714-1716. — Vol. 29 . — S. 32 . - doi : 10.1098/rstl.1714.0002 . Arkiverad från originalet den 6 juli 2017.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - s. 28. Arkivexemplar av 7 juni 2020 på Wayback Machine
↑ González-Velasco Enrique A. Resa genom matematik: Kreativa episoder i dess historia . - 2011. - S. 182. Arkivexemplar daterad 19 oktober 2014 på Wayback Machine
↑ Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.

Litteratur

Gutov A. Z. En analog till Eulers formel för generaliserad sinus och cosinus // Moderna metoder för fysikaliska och matematiska vetenskaper. Uppdrag från den internationella konferensen. Eagle, 2006. S. 35-37. Arkiverad 25 september 2020 på Wayback Machine
Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för forskare och ingenjörer) . — M .: Nauka, 1973.
Stillwell D. Matematik och dess historia . - Moskva-Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2004. - 530 s. Arkiverad 7 juni 2015 på Wayback Machine

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor ryss Britannica (online)