Preadditiv kategori

En preadditiv kategori är en berikad kategori över kategorin av Abelska grupper , det vill säga en sådan kategori att för något av dess objekt har uppsättningen strukturen av en Abelisk grupp genom addition, medan sammansättningen av morfismer är bilinjär : $A$ $B$ ${\text{Hom}}(A,B)$

(g_{1}+g_{2})\circ f=g_{1}\circ f+g_{2}\circ f

g\cirkel (f_{1}+f_{2})=g\cirkel f_{1}+g\cirkel f_{2}

Den preadditiva kategorin kallas ibland också -kategorin [1] . $Ab$

Exempel

Kategori av abelska grupper . ${\mathbf {Ab))$
Kategorier av vänster R-moduler och höger R-moduler . $R{\mbox{-}}{\mathbf {Mod}}$ ${\mathbf {Mod}}{\mbox{-}}R$

Additiva funktioner

En funktor sägs vara additiv om varje kartläggning är en homomorfism av abelska grupper. $T\kolon A\till B$ $T\kolon {\text{Hom}}_{A}(a_{1},a_{2})\till {\text{Hom}}_{B}(Ta_{1},Ta_{2})$

Om och är kategorier och är preadditiv, så är kategorin av funktorer också preadditiv, eftersom naturliga transformationer kan läggas till på ett naturligt sätt. Om också är preadditiv, är kategorin additivfunktioner och naturliga transformationer också preadditiv. ${\mathcal C}$ ${\mathcal D}$ ${\mathcal D}$ $Funct({\mathcal C},{\mathcal D})$ ${\mathcal C}$ $Add({\mathcal C},{\mathcal D})$

Det sista exemplet leder till en generalisering av begreppet modul : om det är preadditivt kallas kategorin kategorin moduler över . Om är en pre-additiv kategori av ett objekt - ringar , leder detta till den vanliga definitionen av (vänster) -moduler. ${\mathcal C}$ $Mod({\mathcal C}):=Lägg till ({\mathcal C},{\mathbf {Ab)))$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ $R$ $R$

$Ab{\mbox{-}}{\mathbf {Cat}}$ är kategorin för alla små -kategorier vars morfismer är additiva funktioner. $Ab$

Särskilda tillfällen

Ringen är en pre-additiv kategori av ett objekt.
En additiv kategori är en pre-additiv kategori med ändliga produkter .
En Abelisk kategori är en additiv kategori där det finns kärnor och kokkärnor , och varje monomorfism och varje epimorfism är normal .

Anteckningar

↑ McLane S. Kapitel 1. Kategorier, funktioner och naturliga transformationer // Kategorier för den arbetande matematikern = Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Litteratur

Nicolae Popescu ; 1973; Abelian-kategorier med applikationer för ringar och moduler; Academic Press Inc. — ISBN 0-12-561550-7 .