En preadditiv kategori är en berikad kategori över kategorin av Abelska grupper , det vill säga en sådan kategori att för något av dess objekt har uppsättningen strukturen av en Abelisk grupp genom addition, medan sammansättningen av morfismer är bilinjär :
Den preadditiva kategorin kallas ibland också -kategorin [1] .
En funktor sägs vara additiv om varje kartläggning är en homomorfism av abelska grupper.
Om och är kategorier och är preadditiv, så är kategorin av funktorer också preadditiv, eftersom naturliga transformationer kan läggas till på ett naturligt sätt. Om också är preadditiv, är kategorin additivfunktioner och naturliga transformationer också preadditiv.
Det sista exemplet leder till en generalisering av begreppet modul : om det är preadditivt kallas kategorin kategorin moduler över . Om är en pre-additiv kategori av ett objekt - ringar , leder detta till den vanliga definitionen av (vänster) -moduler.
är kategorin för alla små -kategorier vars morfismer är additiva funktioner.