Kärna (kategoriteori)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 12 januari 2018; verifiering kräver 1 redigering .

Kärnan i kategoriteorin är den kategoriska motsvarigheten till kärnan i en homomorfism från allmän algebra ; intuitivt är kärnan i en morfism den "mest allmänna" morfismen varefter applikationen ger nollmorfismen . $f\kolon X\till Y$ $k\colon K\to X$ $f$

Definition

Låt vara en kategori med noll morfismer . Då är morfismens kärna utjämnaren av den och nollmorfismen . Mer uttryckligen gäller följande generiska egenskap : ${\mathcal C}$ $f\kolon X\till Y$ $0\colon X\to Y$

Kärnan är en morfism sådan att: $f\kolon X\till Y$ $k\colon K\to X$

$f\circ k$ är en nollmorfism från till : $K$ $Y$
för varje morfism som är noll, finns det en unik morfism så att : $k'\colon K'\to X$ $f\circ k'$ $u\colon K'\to K$ $k\circ u=k'$

Exempel

I många kategorier sammanfaller denna definition av kärnan med den vanliga: om är en homomorfism av grupper eller moduler , så är kärnan i kategorisk mening en inbäddning av kärnan i algebraisk mening i förbilden. $f\kolon X\till Y$

Men i kategorin monoider liknar kärnor i kategorisk betydelse gruppers kärnor, så definitionen av en kärna i monoidteorin är något annorlunda. I kategorin ringar , tvärtom, finns det inga kärnor i kategorisk mening alls, eftersom det inte finns några nollmorfismer. Kärnorna av monoider och ringar kan tolkas i kategoriteori med begreppet par av kärnor .

Samband med andra kategoriska begrepp

Begreppet dubbel till kärnan är kokkärnan , det vill säga kärnan i en morfism är dess kokkärna i den dubbla kategorin , och vice versa.

Varje kärna, som alla andra utjämnare , är en monomorfism . Omvänt sägs en monomorfism vara normal om den är kärnan i en annan morfism. En kategori kallas normal om varje monomorfism i den är normal.

I synnerhet är abelska kategorier normala. I denna situation kallas kärnan i en morfisms kokkärna dess bild . Dessutom är varje monomorfism sin egen bild.

Litteratur

McLane S. Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Paolo Aluffy. Algebra: Kapitel 0. - 2009. - (Forskarstudier i matematik). — ISBN 0-8218-4781-3 .