Inom många områden av matematiken kan en användbar konstruktion ofta ses som den "mest effektiva lösningen" på ett visst problem. Definitionen av en universell egenskap använder kategoriteorins språk för att göra denna definition exakt och studera den med teoretiska metoder.
Den här artikeln ger en allmän beskrivning av den generiska egenskapen. För att bättre förstå detta koncept kommer det att vara till hjälp att först studera några exempel, av vilka det finns en hel del: direkt produkt och biprodukt , fri grupp , Grothendieck-grupp , Stone-Cech kompaktering , tensorprodukt , direkt gräns och omvänd gräns , kärna och kokkärna , kartesisk kvadrat , och codecartes kvadrat , utjämnare och samutjämnare .
Innan vi ger en formell definition ger vi lite motivation för att studera sådana konstruktioner.
Låt U : D → C vara en funktion från kategori D till kategori C , och låt X vara ett objekt i kategori C . Tänk på följande dubbla definitioner:
Den initiala (avstötande) pilen från X till U är det initiala objektet i kategorin morfismer från X till U . Med andra ord, det är ett par ( A , φ ), där A är ett objekt i kategorin D och φ: X → U ( A ) är en morfism i kategori C så att följande initiala egenskap gäller :
En terminal (attraktiv) pil från U till X är ett terminalobjekt i kategorin morfismer från U till X . Med andra ord är det ett par ( A , φ ), där A är ett objekt i kategorin D och φ: U ( A ) → X är en morfism i kategorin C så att följande terminalegenskap gäller :
Termen universell pil betyder "initial eller terminal pil", termen generisk egenskap betyder "initial eller terminal egenskap".
Flera exempel kommer att ges här för att illustrera den allmänna idén. Läsaren kommer att kunna konstruera många fler exempel genom att läsa artiklarna som citeras i inledningen.
Låt C vara kategorin av vektorrum över ett fält K och D kategorin av associativa algebror över K . Tänk på den glömska funkaren
U : K -Alg → K -Vectatt tilldela varje algebra det underliggande vektorutrymmet.
Givet ett godtyckligt objekt X från K-Vect — ett vektorrum V — kan man få dess tensoralgebra T(V) . Det kännetecknas nämligen av följande universella egenskap:
"All linjär mappning från V till en K - algebra A kan unikt utökas till en algebrahomomorfism T(V) → A ."
Detta uttalande beskriver den initiala egenskapen för tensoralgebra, det vill säga det faktum att paret ( T ( V ), i ), där i : V → T ( V ) är standardinbäddningen, är den initiala pilen från vektorrymden V till funktorn U . Vi har erhållit en funktor T från K -Vect till K -Alg. Det betyder att T är den vänstra adjoint-funktorn till den glömska funktorn U (se avsnittet om anslutning till adjoint-funktionorer).
En produkt i kategoriteori kan kännetecknas av sin universella egenskap. Låt nämligen X och Y vara objekt av kategorin D och C vara produkten av kategorierna D × D . Vi definierar diagonalfunktionen
Δ : D → D × Dsom A( X ) = ( X , X ) och A( f : X → Y ) = ( f , f ). Om sedan ( A , φ ) är en terminalpil från Δ till ( X , Y ) är ett objekt av kategori D × D , så är A ett objekt i kategori D , som kallas den direkta produkten av X × Y , och φ är en ett par projektioner
π 1 : X × Y → X π 2 : X × Y → Y .Att definiera en egenskap garanterar inte att det finns ett objekt som uppfyller den. Om emellertid en sådan ( A , φ ) existerar, så är den unik. Mer exakt är det unikt upp till en unik isomorfism. Låt oss kontrollera detta för det initiala pilfallet: om ( A ′, φ ) är ett annat sådant par, så finns det en unik isomorfism k : A → A ′ så att φ′ = U ( k )φ. Detta kan enkelt ses genom att ersätta ( Y , f ) från definitionen av den initiala egenskapen med ( A ′, φ′).
Definitionen av en universell pil kan omformuleras på många sätt. Låt U vara en funktion från D till C , X ett objekt i kategori C. Då är följande påståenden likvärdiga:
såväl som deras dubbla formuleringar.
Låt ( A 1 , φ 1 ) vara den initiala pilen från X 1 till U och ( A 2 , φ 2 ) vara den initiala pilen från X 2 till U . Med den initiala egenskapen motsvarar varje morfism h : X 1 → X 2 en unik morfism g : A 1 → A 2 så att följande diagram är kommutativt:
Om varje objekt X i i kategori C tillåter en initial pil i U , då överensstämmer och definierar en funktion V från C till D . Och mappningarna φ i definierar sedan en naturlig transformation från 1 C (identitetsfunktion C ) till UV . Funktionerna ( V , U ) bildar ett par sammanhängande funktorer . Liknande påståenden är sanna i den dubbla situationen för terminala morfismer från U , i vilket fall ( U , V ) kommer att vara ett par adjoint funktiontorer.
I själva verket erhålls alla par av angränsande funktorer från konstruktioner av detta slag. Låt F : С → D och G : D → C vara ett par adjoint-funktorer med identitet η och count ε (se artikel adjoint-funktorer ). Sedan finns det universella morfismer för varje objekt i kategorierna C och D :
Universella konstruktioner är mer generella än konstruktioner av konjugerade funktorer: en universell konstruktion liknar ett optimeringsproblem, och ett par adjoint funktiontorer definieras endast om detta problem har en lösning för alla objekt i kategorin.
De universella egenskaperna hos många topologiska konstruktioner beskrevs av Pierre Samuel 1948. Senare användes de aktivt av Bourbaki . Det närbesläktade konceptet med adjoint funktorer föreslogs oberoende av Daniel Kahn 1958.