Medutjämnare

En co- equalizer  är en kategoriteoretisk generalisering av begreppet faktor med avseende på ekvivalensrelationen . Detta koncept är dubbelt med konceptet en equalizer , därav namnet.

Definition

En coequalizer  är en samdefinition av ett diagram som består av två objekt, X och Y , och två parallella morfismer f , g  : X → Y .

Mer uttryckligen är en coequalizer ett objekt Q tillsammans med en morfism q  : Y → Q så att q ∘ f = q ∘ g . Dessutom har ett par ( Q , q ) den universella egenskapen : för alla andra par ( Q ′, q ′) med samma egenskap finns det en unik morfism u  : Q → Q ′ som stänger följande diagram till ett kommutativt . :

Som vilken universell konstruktion som helst, definieras en coequalizer, om den finns, upp till isomorfism. Det kan visas att coequalizern q är en epimorfism i vilken kategori som helst.

Exempel

• I kategorin mängder, coequalizer av två funktioner f , g  : X → Y  är faktorn Y av den svagaste ekvivalensrelationen , så att för någon , sant .

• I kategorin grupper är situationen mycket likartad: om f , g  : X → Y  är grupphomomorfismer, är deras utjämnare faktorn Y genom den normala stängningen av mängden: .

• För Abeliska grupper är coequalizern särskilt enkel. Detta är helt enkelt faktorgruppen Y / im( f  − g ) ( kokkärnan av morfismen f − g ).

• I kategorin topologiska utrymmen kan cirkeln betraktas som en samutjämnare av två inbäddningar av standard 0-dimensionell simplex i standard 1-dimensionell simplex.

• Co-equalizers kan vara ganska stora: det finns exakt två funktorer från kategori 1 med ett objekt och en morfism, till kategori 2 med två objekt och exakt en icke-identitetsmorfism. Samutjämnaren för dessa funktioner är monoiden av naturliga tal genom addition, betraktad som en kategori med ett element. Detta visar att även om varje co-equalizer är epimorf, är den inte nödvändigtvis surjektiv .

Litteratur

• McLane S. Kapitel 3. Universella konstruktioner och gränser // Kategorier för den arbetande matematikern = Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .