Inom matematiken är en kategori av grupper en kategori vars objektklass består av grupper och vars morfismer är homomorfismer av grupper .
Tänk på två glömska funktorer från Grp :
M: Grp → Mån
U: Grp → Ställ in
Här har M två konjugat :
Här I: Mon → Grp är en funktor som skickar en monoid till en submonoid av inverterbara element och K: Mon → Grp är en funktor som skickar en monoid till sin Grothendieck-grupp .
Det glömska U: Grp → Mängd har en högeradjoint sammansättning KF: Mängd → Mån → Grp , där F är en fri funktor.
Monomorfismer i Grp är exakt injektiva homomorfismer, epimorfismer är exakt surjektiva homomorfismer och isomorfismer är bijektiva homomorfismer.
Grp- kategorin är komplett och komplett . En produkt i Grp är en direkt produkt av grupper, medan en biprodukt är en fri produkt av grupper. Nullobjektet i Grp är en trivial grupp.
Kategorin av Abeliska grupper , Ab , är en komplett underkategori till Grp . Ab är en Abelisk kategori , men Grp är inte ens en additiv kategori , eftersom det inte finns något naturligt sätt att definiera summan av två homomorfismer.
Föreställningen om en exakt sekvens är också meningsfull i Grp , och vissa resultat från Abelsk kategoriteori, som 9-lemmat och 5-lemmat , förblir giltiga i Grp . Å andra sidan upphör ormlemmat att vara sant.