Hela kategorin

En kategori kallas liten komplett om något litet diagram i den har en gräns . Det dubbla konceptet är en liten cocomplete kategori, det vill säga en där ett litet diagram har en colimit . Finit fullständighet och i allmänhet α-fullständighet definieras på liknande sätt för vilken vanlig kardinal α som helst. Av dem alla är det vanligast att vara fullständighet i det lilla, därför kallas kategorier som är kompletta i det lilla helt enkelt komplett . Förekomsten av gränser i allmänhet för alla (inte nödvändigtvis små) diagram visar sig vara ett för starkt villkor, eftersom en sådan kategori nödvändigtvis skulle vara en förbeställning , och det skulle vara högst en morfism mellan två av dess objekt.

En kategori som är både komplett och cocomplete kallas bicomplete .

En svagare egenskap hos en kategori är ändlig fullständighet. En kategori sägs vara ändligt komplett om alla ändliga gränser finns i den (det vill säga gränserna för alla diagram indexerade av en ändlig mängd). Finitely cocomplete kategorier definieras på liknande sätt.

Exempel

Följande kategorier är tvåfulla:
- ange kategori ; ${\mathcal {S}}et$
- gruppkategori ; ${\mathcal {G}}rp$
- ringkategori ; ${\mathcal {R}}ing$
- kategorin abelska grupper ; ${\mathcal {A}}b$
- kategorin topologiska utrymmen ; ${\mathcal {T}}op$
- kategorin kompakta Hausdorff-utrymmen ; ${\mathcal {C}}omp{\mathcal {H}}$
- kategori av små kategorier ; ${\mathcal {C}}at$
Följande kategorier är naturligtvis bikompletta, men inte kompletta eller samkompletta:
- kategori av ändliga mängder ; $f{S}et$
- kategorin ändligt dimensionella vektorrum över fältet ; $K$ $fd-{\mathcal {V}}ect_{K}$
- kategori av ändliga grupper ; $f{\mathcal {G}}rp$
I allmänhet, om är en kategori av modeller av någon algebraisk teori , då är den komplett och samtidigt komplett, eftersom den är reflekterande i . Kom ihåg att algebraisk teori endast tillåter villkor för operationer som är identiteter (inga kvantifierare!). Låt oss säga att kategorin fält inte är en kategori av modeller för algebraisk teori, så det föregående påståendet gäller inte för det. Den är inte komplett eller komplett. $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ $\mathcal{T}$ $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ $\mathrm {Func} ({\mathcal {T}},{\mathcal {S}}et)$
( limit theorem with a parameter ) Om en kategori är komplett (cocomplete), då är kategorin komplett (cocomplete) för vilken kategori som helst och gränserna beräknas punktvis. ${\mathcal {C}}$ $\mathrm {Func} ({\mathcal {A}),{\mathcal {C)))$ $\mathcal{A}$
Vilken abelisk kategori som helst är ändligt komplett och säkerligen samtidigt komplett.
En förbeställning är klar om den har ett största element och en uppsättning element har en minsta övre gräns . På samma sätt är det copolon om det har ett minsta element och någon uppsättning element har minst bunden.
Kategorien metriska utrymmen Met är ändligt komplett, men den är inte komplett och har inte ens ändliga biprodukter.

Egenskaper

Det finns ett teorem att en kategori är komplett om och bara om alla utjämnare och små produkter finns i den . Följaktligen är en kategori komplett om den innehåller alla samutjämnare och små biprodukter.

Naturligtvis kan även hela kategorin karakteriseras på flera sätt. Följande påståenden är nämligen likvärdiga:

C är verkligen fullt,
C har alla equalizers och finita produkter,
C har alla equalizers, binära produkter och ett terminalobjekt .
C har alla kartesiska kvadrater och ett terminalobjekt.

De dubbla uttalandena är också likvärdiga.

En liten kategori är komplett i den lilla endast om det är en förbeställning. Detsamma gäller för kategorin cocomplete; dessutom, för en liten kategori, är fullständighet och fullständighet likvärdiga i den lilla. [ett]

Om en kategori är komplett i en liten kategori, så har vilken funktion som helst för en liten kategori en rätt Kahn-tillägg med avseende på vilken funktion som helst , och varje sådan Kahn-tillägg är punktvis. Påståendet följer tydligt av representationen av den punktvisa Kahn-förlängningen som en gräns. $C$ $A$ $F\colon A\to C$ $\mathrm {Ran} _{K}F$ $K\colon A\to B$

Anteckningar

↑ Abstrakta och konkreta kategorier, Jiří Adámek, Horst Herrlich och George E. Strecker, sats 12.7, sida 213

Litteratur

S. McLane Kategorier för en arbetande matematiker, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s - ISBN 5-9221-0400-4 .
R. Goldblatt Topoi. Kategorisk analys av logik, - M. : Mir, 1983. - 487 sid.
F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 1. Grundläggande kategoriteori. — Encyclopaedia of Mathematics and its applications. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 sid. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Horst Herrlich och George E. Strecker. Abstrakta och konkreta kategorier (neopr.) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .