Ring (matematik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 april 2022; verifiering kräver 1 redigering .

En ringa (även en associativ ringa ) i allmänhet algebra är en algebraisk struktur i vilken funktion av reversibel addition och funktion av multiplikation definieras , liknande egenskaper till motsvarande operationer på siffror . De enklaste exemplen på ringar är samlingar av tal ( heltal , reella , komplexa ), samlingar av numeriska funktioner definierade på en given mängd. I alla fall finns det en uppsättning som liknar samlingar av tal i den meningen att dess elementkan adderas och multipliceras, och dessa operationer fungerar naturligt [1] .

För att studera de allmänna egenskaperna hos operationerna multiplikation och addition, deras interna samband med varandra, oavsett arten av de element som operationerna utförs på, introducerades begreppet ring [2] .

Ringar är huvudobjektet för studier av ringteori - en stor del av allmän algebra, där verktyg har utvecklats som har funnit bred tillämpning inom algebraisk geometri , algebraisk talteori , algebraisk teori $K$ och invariant teori .

Historik

Den snabba utvecklingen av algebra som vetenskap började på 1800-talet. En av de viktigaste uppgifterna för talteorin under 1860- och 1870-talen var konstruktionen av en teori om delbarhet i allmänna fält av algebraiska tal . Lösningen på detta problem publicerades av Richard Dedekind ("X Supplement to lectures on theory of Dirichlet numbers", 1871). I detta arbete övervägdes först begreppet en ring av heltal i ett talfält, i detta sammanhang definierades begreppen en modul och ett ideal [3] .

Definition

En ring är en uppsättning på vilken två binära operationer ges : och (kallas addition och multiplikation ), med följande egenskaper som gäller för alla : $R$ $+$ $\ gånger$ $a, b, c \i R$

$a + b = b + a$ — kommutativitet av addition;
$a + (b + c) = (a + b) + c$ - associativitet av addition;
$\exists 0 \in R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right)$ - förekomsten av ett neutralt element med avseende på addition;
$\forall a\in R\;\exists b\in R\left(a+b=b+a=0\right)$ - förekomsten av det motsatta elementet med avseende på addition;
$(a \ gånger b) \ gånger c=a \ gånger (b \ gånger c)$ — associativitet av multiplikation;
$\left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\\(b+c)\times a=(b\times a)+(c\ gånger a)\end{matris}}\right.$ - distributionsförmåga .

Med andra ord, en ring är en universell algebra som är en Abelisk grupp med avseende på addition , en halvgrupp med avseende på multiplikation , och är dubbelsidig distributiv med avseende på . $\left(R,+,\times\right)$ $+$ $\ gånger$ $\ gånger$ $+$

Ringar kan ha följande ytterligare egenskaper:

närvaron av en enhet : ( en ring med en enhet ), vanligtvis betecknas en enhet med 1; $\existerar e \i R\; \forall a \in R \left(a \times e = e \times a = a\right)$
kommutativitet av multiplikation: ( kommutativ ring ); $\forall a, b \in R \left(a \times b = b \times a\right)$

Ibland förstås en ring bara som en ring med en enhet [4] (det vill säga att den krävs för att vara en monoid ), men ringar utan enhet studeras också (till exempel är en ring med jämna tal en kommutativ associativ ring utan enhet [5] ). $\left(R,\times\right)$

Istället för en symbol används ofta en symbol (eller så utelämnas den helt). $\ gånger$ $\cdot$

De enklaste egenskaperna

Följande egenskaper kan härledas direkt från ringens axiom:

med avseende på tillägg i ringen är det neutrala elementet unikt;
för varje element i ringen är elementet omvänt mot det dessutom unikt;
det neutrala elementet under multiplikation, om det finns, är unikt;
$a\cdot 0 = 0,$ det vill säga 0 är ett absorberande element genom multiplikation;
$(-b) = (-1) \cdot b,$ där är elementet inverst till dessutom; $(-b)$ $b$
$(-a) \cdot b = (-ab);$
$(-a) \cdot (-b) = (ab).$ [6] [5]

Grundläggande begrepp

Typer av ringelement

Låt ringen ha andra element än noll (ringen är inte trivial ). Då är den vänstra nolldelaren ett icke-nollelement i ringen för vilket det finns ett icke-nollelement i ringen så att den högra nolldelaren definieras på liknande sätt. I kommutativa ringar sammanfaller dessa begrepp. Exempel: betrakta en ring av kontinuerliga funktioner på ett intervall Låt oss då det vill säga är nolldelare. Här betyder villkoret att det är en annan funktion än noll, men betyder inte att det inte tar ett värde någonstans [7] $a$ $R,$ $b$ $R$ $ab=0.$ $(-elva).$ $f(x)=\max(0, x),$ $g(x)=\max(0, -x).$ $f\ne0, g\ne0, fg=0,$ $f, g$ $f\ne0$ $f$ $f$ $0.$

Ett nilpotent element är ett element så att för vissa Exempel: en matris Ett nilpotent element är alltid en nolldelare (om inte ringen består av en nolla), det omvända är inte sant i det allmänna fallet [8] . $a,$ $a^n = 0$ $n > 0.$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr).$

Ett idempotent element är ett element så att till exempel vilken projektionsoperator som helst är idempotent , i synnerhet följande: i matrisringen [9] $e$ $e\cdot e=e.$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ $2 gånger 2.$

Om är ett godtyckligt element i en ring med identitet, så är det vänstra inversa elementet av k sådant att det högra inversa elementet definieras på liknande sätt. Om ett element har både ett vänster och ett höger inverst element, så sammanfaller det senare, och de säger att det har ett inverst element, som är unikt definierat och betecknat . Själva elementet kallas ett invertibelt element. [7] $a$ $R,$ $a$ $a^{-1}_{l}$ $a^{-1}_{l}a=1.$ $a$ $a$ $a^{-1}.$

Subring

En delmängd kallas en subring om den i sig är en ring med avseende på operationerna definierade i I det här fallet sägs det att den är en förlängning av ringen [10] Med andra ord, en icke-tom delmängd är en subring om $A\delmängd R$ $R,$ $A$ $R.$ $R$ $A.$ $A\delmängd R$

$A$ är en additiv undergrupp av ringen , det vill säga för någon $R,$ $x, y \i A : x+y, -x \i A,$
$A$ stängs under multiplikation, det vill säga för någon $x, y \i A : xy \i A.$

Per definition är en subring icke- tom eftersom den innehåller null-elementet . Noll och en av en ring är noll och en av någon av dess underringar [11] .

Subringen ärver kommutativitetsegenskapen [12] .

Skärningspunkten mellan en uppsättning subringar är en subring. Den minsta subringen som innehåller en delmängd kallas en subring som genereras av ett genererande system för ringen En sådan subring finns alltid, eftersom skärningspunkten mellan alla delringar som innehåller uppfyller denna definition. [elva] $E\delmängd R$ $E,$ $E$ $R.$ $E,$

En subring av en ring med identitet genererad av dess identitet kallas den minsta eller huvudsakliga subringen av ringen . En sådan subring finns i vilken som helst subring av ringen [13] $R,$ $R.$ $R.$

Idealer

Definitionen och rollen för idealet för en ring liknar definitionen av en normal undergrupp i gruppteorin [14] .

En icke- tom delmängd av en ring kallas ett vänsterideal om: $jag$ $R$

$jag$ är en additiv undergrupp av ringen, det vill säga summan av två valfria element från tillhör och $jag$ $jag$ $a\in I\Rightarrow -a\in I.$

$jag$ stängs under multiplikation till vänster av ett godtyckligt element i ringen, det vill säga för någon är sant . $a\i jag,$ $r\in R$ $regnar jag$

Den första egenskapen innebär också att den är stängd under multiplikation inom sig själv, så det är en subring. $jag$ $jag$

Ett högerideal som stängs under multiplikation med ett element i ringen till höger definieras på liknande sätt.

Ett dubbelsidigt ideal (eller bara ett ideal) för en ring är vilken icke-tom delmängd som helst som är både ett vänster- och ett högerideal. $R$

Idealet för en ring kan också definieras som kärnan i någon homomorfism [15] . $R$ $f:R\to R'$

Om är ett element i ringen kallas uppsättningen av element i formen (respektive ) det vänstra (respektive höger) huvudideal som genereras av . Om ringen är kommutativ sammanfaller dessa definitioner och det genererade huvudidealet betecknas . Till exempel bildar mängden av alla jämna tal ett ideal i ringen av heltal, detta ideal genereras av elementet 2. Det kan bevisas att alla ideal i ringen av heltal är huvudsakliga [16] . $x$ $R$ $Rx$ $xR$ $x$ $R$ $x,$ $(x).$

Ett ideal för en ring som inte sammanfaller med hela ringen kallas enkelt om kvotringen av detta ideal inte har några nolldelare. Ett ideal av en ring som inte sammanfaller med hela ringen och inte ingår i något större ideal som inte är lika med ringen kallas maximal [17] .

Homomorfism

En ringhomomorfism (ringhomomorfism) är en kartläggning som bevarar operationerna för addition och multiplikation. En ring -till-ring homomorfism är nämligen en funktion sådan att $R$ $S$ $f:R\to S,$

$f(a + b) = f(a) + f(b)$ ,
$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),~\forall a,b\in ~R$ .

När det gäller ringar med identitet krävs ibland även villkoren [18] [19] . $f(1) = 1$

En ringhomomorfism kallas en isomorfism om det finns en omvänd ringhomomorfism. Varje bijektiv ringhomomorfism är en isomorfism. En automorfism är en homomorfism från en ring in i sig själv, vilket är en isomorfism. Exempel: identitetskartläggningen av en ring på sig själv är en automorfism [20] .

Om är en ringhomomorfism kallas uppsättningen av element som försvinner kärnan (betecknad med ). Kärnan i varje homomorfism är ett dubbelsidigt ideal [21] . Å andra sidan är bilden inte alltid ett ideal, utan är en subring [15] (betecknad med ). $f:R\till S$ $R,$ $f$ $\mathrm{ker} f$ $f$ $S$ $\mathrm{im}f$

Faktorring

Definitionen av en kvotring av ett ideal liknar definitionen av en kvotgrupp . Närmare bestämt är kvotringen för en ring av ett dubbelsidigt ideal uppsättningen av coset av en additiv grupp av en additiv undergrupp med följande operationer: $R$ $jag$ $R$ $jag$

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$ ,
$(a+I)(b+I)=(ab)+I$ .

På samma sätt som fallet med grupper finns det en kanonisk homomorfism som ges av . Kärnan är idealet . $p: R \till R/I$ $x \mapsto x + I$ $jag$

På samma sätt som gruppen homomorfism sats, det finns en ring homomorphism theorem: sedan låt vara isomorphic till en kvot ring med avseende på homomorphism kärnan [22] . $f:R\to R',$ $\mathrm{Im}f$ $\mathrm {Im} f\simeq R/\mathrm {Ker} f$

Några speciella klasser av ringar

En ring med enhet , där varje element som inte är noll är inverterbart, kallas en ring [23] . $1\neq 0$
En kommutativ kropp kallas ett fält [24] ; med andra ord är fältet en kommutativ ring med identitet som inte har icke-triviala ideal [8] [25] .
En kommutativ ring utan nolldelare kallas en integritetsdomän (eller integralring) [26] . Vilket fält som helst är ett integritetsområde, men det omvända är inte sant [27] .
En integralring som inte är ett fält kallas euklidisk om en norm ges på ringen så att: $R$ ${\displaystyle N\colon R\to Z_{+))$
1. för alla icke-noll är det sant att ; $a, b \i R$ $N(a)\leq N(ab)$
2. för alla icke-noll finns det sådana att och eller
[26] . $a, b \i R$ $q,r \i R$ $a = qb + r$ $r=0$ $N( r ) < N(b)$
En integrerad ring i vilken varje ideal är principiellt kallas ringen av principiella ideal ; varje euklidisk ring och varje fält är principiella idealringar [12] .
En ring vars element är tal och vars operationer är addition och multiplikation av tal kallas en talring , till exempel är uppsättningen av jämna tal en talring, men inget system med negativa tal kommer att vara en ring, eftersom deras produkt är positiv [28] .

Exempel

$\{0\}$ är en trivial ring som består av en nolla. Detta är den enda ringen där noll är en multiplikativ etta [5] . Det är användbart att betrakta detta triviala exempel som en ring ur kategoriteorinsynpunkt , eftersom i detta fall ett terminalobjekt uppstår i kategorierna ringar .
$\mathbb {Z}$ - heltal (med vanlig addition och multiplikation). Detta är det viktigaste exemplet på en ring, eftersom vilken ring som helst kan ses som en algebra över . Det är också startobjektet i kategorin Ring av enhetsringar. [29] [30] $\mathbb {Z}$
$\mathbb {Z} _{n}$ är en finit restring modulo ett naturligt tal n . Det här är klassiska exempel på ringar från talteorin. En restring är ett fält om och endast om n är primtal . [31] Motsvarande fält är utgångspunkten för att konstruera teorin om ändliga fält . Restringar är också viktiga i studien av strukturen hos finitely genererade abelska grupper , och kan också användas för att konstruera p -adiska tal .
$\mathbb {Q}$ är ringen av rationella tal , som är ett fält. Detta är det enklaste fältet med karakteristik 0. Det är det huvudsakliga studieobjektet i talteorin. Att fylla i det enligt olika icke-ekvivalenta normer ger fält med reella tal och p -adiska tal där p är ett godtyckligt primtal [32] . $\mathbb {R}$ $\Q_p,$
För en godtycklig kommutativ ring kan man konstruera en polynomring i n variabler med koefficienter i [11] I synnerhet är en polynomring med heltalskoefficienter en universell polynomring, i den meningen att alla polynomringar uttrycks i termer av en tensor produkt : $R$ $R[x_1,x_2,\dots,x_n]$ $R.$ $R[x][y]=R[x,y].$ $R[x_1,\dots,x_n] = R \otimes \left(\Z[x_1,\dots,x_n]\höger).$
Ringen av delmängder av en uppsättning är en ring vars element är delmängder i . Operationen av addition är en symmetrisk skillnad , och multiplikation är skärningspunkten mellan mängder : $X$ $X$

A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A),

A \cdot B = A \cap B.

Ringaxiom är lätta att verifiera. Nollelementet är en tom mängd, enheten är allt. Alla element i ringen är idempotenta, det vill säga Alla element är dess inversa dessutom: Ringen av delmängder är viktig i teorin för booleska algebror och måttteori , i synnerhet i konstruktionen av sannolikhetsteorin [5] .

x.

A\cdot A = A.

A+A=0.

Konstruktioner

Direkt produkt

Produkten av ringar och kan utrustas med den naturliga ringstrukturen: för alla , : $R\ gånger S$ $R$ $S$ $r_1,r_2\i R$ $s_{1},s_{2}\in S$

$(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),$
$(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).$

En liknande konstruktion finns för produkten av en godtycklig familj av ringar (addition och multiplikation ges komponentmässigt) [33] .

Låta vara en kommutativ ring och vara parvisa coprime ideal i den (ideal kallas coprime om deras summa är lika med hela ringen). Den kinesiska restsatsen säger att en kartläggning: $R$ $\mathfrak{a}_1, \cdots, \mathfrak{a}_n$

R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x + \mathfrak{a}_1, \ldots , x + \mathfrak{a }_n)

är surjektiv, och dess kärna är ( produkt av ideal , skärningspunkt mellan ideal ) [18] . $\prod \mathfrak{a}_i = \cap \mathfrak{a}_i$

Ring of endomorphisms

Uppsättningen av endomorfismer av en Abelisk grupp bildar en ring, betecknad med . Summan av två endomorfismer definieras komponentmässigt: , och produkten definieras som en sammansättning: . Om är en icke-abelian grupp, då är , generellt sett, inte lika med , medan addition i en ring måste vara kommutativ [34] . $(A,+)$ $\operatorname {Slut} (A)$ $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $(fg)(x)=f(g(x))$ $(A,+)$ $f+g$ $g+f$

Fält av meniga och ring av meniga

För en integrerad ring finns det en konstruktion som gör att man kan konstruera det minsta fältet som innehåller den. Fältet för partiella ringar är uppsättningen av ekvivalensklasser av formella bråk enligt följande ekvivalensrelation : $R$ $R$ $p/q,\; p,q\in R$

{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}

om och endast om

{p_1q_2}={p_2q_1},

med normal drift: ${a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.$

Det är inte helt uppenbart att den givna relationen verkligen är en ekvivalensrelation: för beviset måste man använda ringens integritet. Det finns en generalisering av denna konstruktion till godtyckliga kommutativa ringar. Nämligen ett multiplikativt slutet system i en kommutativ ring (det vill säga en delmängd som innehåller en och inte innehåller noll; produkten av två valfria element från delmängden tillhör den igen). Då är ringen av kvotienter uppsättningen av ekvivalensklasser av formella bråk med avseende på ekvivalensrelationen: $S$ $R$ $S^{-1}R$ $r/s,\; r\in R, s\in S$

{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2}

om och bara om existerar sådant

s'\i S

s'({r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1)))=0.

Denna konstruktion kallas också ringens lokalisering (eftersom den i algebraisk geometri tillåter en att studera grenrörets lokala egenskaper vid dess individuella punkt). Exempel: ring av decimaler - lokalisering av ringen av heltal enligt det multiplikativa systemet $S=\{10^n|n\geqslant 0\}.$

Det finns en naturlig mappning Dess kärna består av sådana element som det finns sådana att . Speciellt för en integrerad ring är denna karta injektiv [35] [36] . $R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1.$ $r$ $s\i S$ $rs=0$

Kategorisk beskrivning

Ringar tillsammans med ringhomomorfismer bildar en kategori , vanligtvis betecknad (ibland betecknas kategorin ringar med enhet på detta sätt, och kategorin vanliga ringar betecknas med ). Kategorin enhetsringar har många användbara egenskaper: i synnerhet är den komplett och medkomplett . Det betyder att alla små gränser och samgränser finns i den (till exempel produkter , biprodukter , kärnor och kokkärnor ). Kategorien ringar med enhet har ett initialobjekt (ring ) och ett terminalobjekt (nollring). $\mathbf {Ring}$ ${\mathbf {Rng}}$ $\mathbb {Z}$

Man kan ge följande kategoriska definition av en ring: en associativ ring med en enhet är en monoid i kategorin Abeliska grupper ( Abelska grupper bildar en monoidal kategori med avseende på tensorproduktoperationen ). Verkan av en ring R på en Abelisk grupp (en ring behandlad som en monoid genom multiplikation) förvandlar en Abelisk grupp till en R - modul . Begreppet en modul generaliserar konceptet med ett vektorrum : grovt sett är en modul "ett vektorrum över en ring." [29] [30]

Specialklasser av ringar

Artins ring
Dedekind ring
fördelningsring
differentialring
Ring av stora ideal
Euklidisk ring
Ring of Bezu
Ring of Lee
ändring
lokal ring
Noetherian ring
Integritetsområde
Huvudidealens rike
primär ring
Semilokal ring
semi-primär ring
Halvenkel ring
Halvkedjad ring
enkel ring
fabriksring
kedjering

Generaliseringar - icke-associativ ring , semiring , nära ring .

Strukturer över ringar

Anteckningar

↑ Vinberg, 2011 , sid. 17-19.
↑ Belsky A., Sadovsky L. Rings // Kvant . - 1974. - Nr 2 .
↑ Erich Reck. Dedekinds bidrag till matematikens grunder // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 2012-01-01. Arkiverad från originalet den 2 december 2013.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 , sid. 9.
↑ 1 2 3 4 Vinberg, 2011 , sid. 18-19.
↑ Kurosh, 1968 , sid. 273-275.
↑ 1 2 Van der Waerden, 1975 , sid. 51-53.
↑ 1 2 Atiyah, Macdonald, 1972 , sid. elva.
↑ Van der Waerden, 1975 , sid. 359.
↑ Vinberg, 2011 , sid. 407.
↑ 1 2 3 Kulikov, 1979 , sid. 110-111.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , sid. 21.
↑ Kulikov, 1979 , sid. 437.
↑ Van der Waerden, 1975 , sid. 64.
↑ 1 2 Feis, 1977 , sid. 153.
↑ Kulikov, 1979 , sid. 430-431.
↑ Vinberg, 2011 , sid. 406.
↑ 1 2 Feis, 1979 , sid. tio.
↑ Vinberg, 2011 , sid. 388.
↑ Kulikov, 1979 , sid. 107-108.
↑ Kulikov, 1979 , sid. 432.
↑ Vinberg, 2011 , sid. 387-390.
↑ Vinberg, 2011 , sid. 523.
↑ Face, 1977 , sid. 152.
↑ Kulikov, 1979 , sid. 430.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , sid. 118.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 .
↑ Kurosh, 1968 , sid. 266.
↑ 1 2 Face, 1977 .
↑ 1 2 Face, 1979 .
↑ Vinberg, 2011 , sid. 28-34.
↑ Van der Waerden, 1975 , sid. 509-512.
↑ Van der Waerden, 1975 , sid. 33.
↑ Van der Waerden, 1975 , sid. 173.
↑ Van der Waerden, 1975 , sid. 450-452.
↑ Kurosh, 1968 , sid. 305-311.

Litteratur

M. Atiyah , I. MacDonald. Introduktion till kommutativ algebra. - M . : Mir, 1972. - 160 sid.
Belsky A., Sadovsky L. Rings. // Quantum nr 2, 1974.
Van der Waerden B. L. Algebra. - M . : Mir, 1975. - 623 sid.
Vinberg E. B. Algebrakurs. - Ny upplaga, reviderad. och ytterligare .. - M . : MTSNMO, 2011. - 592 sid.
Glazer G. I. Matematikens historia i skolan: IX-X årskurs. Lärarhandledning - Ny upplaga, reviderad. och ytterligare .. - M . : Education, 1983. - 351 sid.
1800-talets matematik. Matematisk logik. Algebra. Talteori. Sannolikhetsteori / Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (red.). — M .: Nauka, 1978. — 255 sid.
Kulikov L. Ya Algebra och talteori: Proc. handbok för pedagogiska institut. - M . : Högre. skola, 1979. - 559 sid.
Kurosh A. G. Kurs för högre algebra .. - M . : Nauka, 1968. - 431 sid.
Ansikte K. Algebra. Ringar, moduler, kategorier. - M . : Mir, 1977. - T. 1. - 688 sid.
Ansikte K. Algebra. Ringar, moduler, kategorier. - M . : Mir, 1979. - T. 2. - 464 sid.
Herstein I. Icke-kommutativa ringar. - M . : Mir, 1972. - 190 sid.

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNE : XX531097 BNF : 131630283 GND : 4128084-2 J9U : 987007538867405171 LCCN : sh85114140 NKC : ph126754