Enkel ring (algebra)

En enkel ring är en ring sådan att och i det finns inga andra tvåsidiga ideal än och . $R$ ${\displaystyle R^{2}\neq \{0\))$ $R$ $R$ $\{0\}$

Exempel och teorem

Betrakta en ring sådan att , och tillsatsgruppen har prime order. Då är ringen enkel, eftersom det inte finns några riktiga undergrupper i . $R$ ${\displaystyle R^{2}\neq \{0\))$ $\langle R,+\rangle$ $R$ $\langle R,+\rangle$
Varje fält är en enkel ring, eftersom fältet inte har några riktiga ideal .
En associativ kommutativ ring med identitet är ett fält om och bara om det är en enkel ring. $R$ $R$
Om är ett fält, är ett naturligt tal , då är matrisringen enkel . $P$ $n$ $\mathrm {Mat} (P,n)$

Wedderburns teorem

Låt vara en enkel ring med identitet och ett minimalt vänsterideal. Då är ringen isomorf till ringen av alla ordningsmatriser över någon divisionsring . I det här fallet är kroppen unikt definierad, och kroppen definieras upp till isomorfism. Omvänt, för vilken kropp som helst, är en ring en enkel ring. $R$ $R$ $n$ $n$ $D$ $\mathrm {Mat} (D,n)$

Litteratur

Herstein I. Icke-kommutativa ringar. — M.: Mir, 1972.
Jacobson N. Struktur av ringar. - M .: Förlag för utländsk litteratur, 1961.
Glukhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebra: Lärobok. I 2 vol. T. 2. - M .: Helios ARV, 2003.