Binär operation

Binär , eller två-plats , operation (från latin bi "två") är en matematisk operation som tar två argument och returnerar ett resultat (det vill säga en operation med en aritet på två).

Definition

Låt vara en trippel av icke-tomma set. En binär operation , eller en binär funktion , på ett par med värden i kallas mappning . $A,\;B,\;C$ $A,\;B$ $C$ $P:A\times B\to C$

Låt vara en icke-tom uppsättning. En binär operation på en uppsättning , eller en intern binär operation , är en mappning . $A$ $A$ $P:A\times A\to A$

Den första definitionen motsvarar den fransktalande traditionen, den andra - den engelsktalande. Oftast övervägs interna binära operationer.

Det finns också ett nära begrepp för kompositionslagen , som kombinerar interna binära operationer ( inre kompositionslagar ) med binära operationer av formen eller ( extrema kompositionslagar ). $P:A\times A\to A$ $P:A\times B\to A$ $P:B\times A\to A$

Notera

Den binära operationen betecknas vanligtvis med handlingstecknet, som placeras mellan operanderna ( infix notation ). Till exempel, för en godtycklig binär operation, resultatet av dess tillämpning på två element och skrivs som . $\cirkel$ $x$ $y$ $x\cirkel$

I det här fallet används dock andra former av att skriva binära operationer, nämligen:

prefix ( polsk notation ) - ; $\cirkel\,x\;y$
postfix ( omvänd polsk notation ) — . $x\;y\,\cirkel$

Typer av binära operationer

Kommutativ operation

En binär operation kallas kommutativ endast när dess resultat inte beror på permutationen av operanderna, dvs. $\cirkel$

x\circ y=y\circ x,\quad \forall x,\;y\in M.

Associativ operation

En binär operation kallas associativ endast när $\cirkel$

(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z),\quad \forall x,\;y,\;z\in M.

För en associativ operation är resultatet av beräkningen inte beroende av utvärderingsordningen (placering av parenteser), och därför är det tillåtet att utelämna parenteser i notationen. För en icke-associativ operation är uttrycket för inte unikt definierat. $\cirkel$ $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $n>2$

Det finns också en svagare egenskap än associativitet: alternativhet .

Exempel

Exempel på binära operationer är addition , multiplikation och subtraktion på fältet av reella tal . Addition och multiplikation av tal är kommutativa och associativa operationer, medan subtraktion inte är det.

Inlägg

Multiplikativ notation

Om en abstrakt binär operation på kallas multiplikation , så kallas dess resultat för element deras produkt och betecknas med eller . I det här fallet, det neutrala elementet , det vill säga elementet som uppfyller jämlikheterna $M$ $x,\;y\i M$ $x\cdot y$ $xy$ $e\in M$

x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M,

kallas identitetselementet med avseende på den valda binära operationen.

Additiv notation

Om en binär operation kallas addition kallas bilden av ett elementpar summan och betecknas . Vanligtvis, om en binär operation kallas addition, antas den vara kommutativ. Det neutrala elementet i den additiva notationen betecknas med symbolen 0, kallad nollelement och skriven $x,\;y\i M$ $x+y$

x+0=0+x=x,\quad \forall x\in M.

Omvänd operation

Om en operation är bijektiv , har den omvända operationer . För en binär operation kan det finnas upp till två inversa operationer (vänster och höger), i fallet med en kommutativ operation sammanfaller de.

Sats 1

För varje binär operation finns det högst ett neutralt element, det vill säga att två neutrala element faktiskt visar sig vara desamma.

Bevis

Låt det finnas två neutrala element och . Per definition av ett neutralt element, för alla element , måste följande gälla: $e_{{1}}$ $e_{{2}}$ $x$

e_{1}\circ x=x\circ e_{1}=x,

e_{2}\circ x=x\circ e_{2}=x.

Vi lägger in den första av dessa jämlikheter och i den andra : ${\displaystyle x=e_{2))$ ${\displaystyle x=e_{1))$

e_{1}\circ e_{2}=e_{2}\circ e_{1}=e_{2},

e_{2}\circ e_{1}=e_{1}\circ e_{2}=e_{1}.

Eftersom de vänstra sidorna av dessa likheter (efter permutation) är lika, är de högra också lika:

e_{1}=e_{2}.

■ Sats 2

Om en binär operation är associativ, så finns det högst en invers för varje element.

Bevis

Anta att något element har två inverser och . Enligt definitionen av det omvända elementet måste följande likheter gälla: $a$ $b_{1}$ $b_{2}$

a\circ b_{1}=b_{1}\circ a=e,

a\circ b_{2}=b_{2}\circ a=e.

Låt oss överväga uttrycket . Eftersom är det omvända elementet till , då gäller följande likhet $b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)$ $b_{2}$ $a$

{\displaystyle b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)=b_{1}\circ e=b_{1))

Å andra sidan, eftersom operationen är associativ, alltså

b_{1}\circ \left(a\circ b_{2}\right)=\left(b_{1}\circ a\right)\circ b_{2}=e\circ b_{2} =b_{2}.

De vänstra delarna av de två sista likheterna är lika, vilket betyder att de högra delarna också är lika, det vill säga vilket skulle bevisas. ■ ${\displaystyle b_{1}=b_{2))$

Se även

Litteratur

Tsypkin A.G. Handbok i matematik för gymnasie- och utbildningsinstitutioner. — M.: Nauka, 1988. — 430 sid. — ISBN 5-02-013792-8 .