K-teori

K-teori är en matematisk teori som studerar ringar som genereras av vektorbuntar över topologiska utrymmen eller scheman . Inom algebraisk topologi kallas denna generaliserade kohomologiteori topologisk K-teori . Inom algebra och algebraisk geometri kallas motsvarande gren för algebraisk K-teori. Den spelar också en viktig roll i operatoralgebror och kan betraktas som en teori för vissa typer av invarianter av stora matriser [1] .

K-teorin involverar konstruktionen av familjer av K- funktioner som kartlägger topologiska rum eller scheman till motsvarande ringar; dessa ringar återspeglar vissa aspekter av strukturen i de ursprungliga utrymmena eller scheman. Liksom med funktorer i kategorin grupper som används i algebraisk topologi, gör denna funktionella mappning det lättare att beräkna vissa topologiska egenskaper från de kartlagda ringarna än från de ursprungliga utrymmena eller scheman. Exempel på resultat som härrör från K-teorin inkluderar Grothendieck-Riemann-Roch-satsen, Bott-periodicitet, Atiyah-Singer-indexsatsen och Adams operationer.

Inom högenergifysik används K-teori, och i synnerhet K-teori med torsion, i typ II strängteori, där det har föreslagits att de klassificerar D-braner , Ramond-Ramond fältstyrkor och några spinorer på generaliserade komplexa grenrör.

Inom den kondenserade materiens fysik har K-teori använts för att klassificera topologiska isolatorer , supraledare och stabila Fermi-ytor .

Grothendiecks konstruktion

Grothendiecks konstruktion är en nödvändig komponent för konstruktionen av K-teorin. Låt vara en monoid. Beteckna med följande ekvivalensrelation på $(A,+')$ $\sim$ $A\times A:$

(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})

om det finns sådan att Då har uppsättningen gruppstrukturen , där: $c\in A,$ $a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.$ $G(A)=A\times A/\sim$ $(G(A),+)$

[(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+' b_{2})]

Ekvivalensklasserna i denna grupp bör betraktas som formella skillnader mellan element i en Abelsk monoid.

För att bättre förstå denna grupp, överväg några av ekvivalensklasserna för den abelianska monoiden . Vi betecknar enheten för monoiden som . Först, för alla , eftersom vi kan sätta och tillämpa likheten från ekvivalensrelationen för att få . Det betyder $(A,+)$ $0$ $(0,0)\sim (n,n)$ $n\in A$ $c=0$ $n=n$

[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=0

därför har vi en additiv invers för varje element i . Därför kan ekvivalensklasser ses som formella skillnader . En annan användbar observation är invariansen av ekvivalensklasser under skalning: $G(A)$ $[(a,b)]\i G(A)$ $ab$

(a,b)\sim (a+k,b+k)

för alla

k\in A

Grothendieck-konstruktionen kan ses som en funktionär . Den lämnas konjugerad med avseende på motsvarande glömma funktion . Med andra ord, om är en Abelsk monoid, är en Abelsk grupp, så kan varje homomorfism av Abelian monoider associeras med en unik grupphomomorfism . $G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp}$ $U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .$ $A$ $B$ $\phi :A\to U(B)$ $G(A)\to B$

Ett bra exempel att överväga är den abeliska monoiden , uppsättningen naturliga tal. Det kan vi se . För vilket par som helst kan vi hitta den lägsta representanten med hjälp av skalinvarians. Till exempel, $\mathbb {N}$ $G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+)$ $(a,b)$ $(a',b')$

(4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)

I allmänhet, om vi ställer in , då finner vi det $k=\min\{a,b\}$

(a,b)\sim (ak,bk)

, som har formen eller

(c,0)

(0,d).

Detta visar vad vi kan tänka oss som positiva heltal och -- som negativa heltal. ${\displaystyle(a,0)}$ $(0,b)$

Definitioner

Det finns ett antal grundläggande definitioner av K-teori: två från topologi och två från algebraisk geometri.

Låt vara ett kompakt Hausdorff topologiskt utrymme . Beteckna som uppsättningen av ändliga dimensionella vektorbuntar över upp till isomorfism, och låt isomorfismklassen för en vektorbunt betecknas med . Eftersom isomorfismklasser av vektorbuntar uppför sig bra med avseende på direkta summor, kan vi definiera en direkt summa av två element som $X$ ${\text{Vect}}(X)$ $X$ $\pi :E\to X$ $[E]$ ${\text{Vect}}(X)$

[E]\oplus [E']=[E\oplus E']

Det är tydligt att det är en Abelsk monoid, där identiteten ges av den triviala vektorbunten . Sedan kan vi tillämpa Grothendiecks konstruktion för att erhålla en Abelisk grupp från denna Abeliska monoid. Denna grupp kallas K-teori och betecknas . $({\text{Vect}}(X),\oplus )$ $\mathbb {R} ^{0}\times X\to X$ $X$ $K^{0}(X)$

Serre–Swan-satsen låter en ge en alternativ beskrivning av vektorbuntar som projektiva moduler över en ring avkontinuerliga komplexvärderade funktioner påSedan kan de identifieras med idempotenta matriser i någon matrisring. Vi kan definiera ekvivalensklasser av idempotenta matriser och bilda en abelsk monoid. Hans Grothendieck design kallas också. $C^{0}(X;\mathbb {C} )$ $x.$ $M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))$ ${\textbf {Idem}}(X)$ $K^{0}(X)$

I algebraisk geometri kan samma konstruktion tillämpas på algebraiska vektorbuntar över jämna scheman. Det finns också en alternativ konstruktion för vilket Noetherian-schema som helst . Nämligen, på uppsättningen av isomorfismklasser av koherenta skivor på man kan introducera en ekvivalensrelation: om det finns en kort exakt sekvens $X$ $\operatorname {Coh} (X)$ $X$ $[{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']$

0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.

Detta ger en grupp som är isomorf om schemat är jämnt. Gruppen har också en ringstruktur, definierad som $K_{0}(X)$ $K^{0}(X)$ $X$ $K_{0}(X)$

[{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\summa (-1)^{k}\left[\operatörsnamn {Tor} _{k}^{{ \mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].

Genom att använda Grothendieck-Riemann-Roch-satsen , har vi det

\operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q}

är en isomorfism av ringar. Därför kan vi använda för intersektionsteori. $K_{0}(X)$

Tidig historia

Man kan säga att detta ämne börjar med Alexander Grothendieck (1957), som använde det för att formulera sin Grothendieck-Riemann-Roch-sats. Namnet "K-teori" kommer från tyskans "Klasse" ("klass"). Grothendieck studerade koherenta kärvar på en algebraisk variant "X". Istället för att arbeta direkt med skivor, definierade han gruppen genom att använda isomorfismklasserna av skivor som generatorer, med en relation som identifierar varje förlängning av två skivor med deras summa. Den resulterande gruppen kallas "K(X)" när endast lokalt fria skivor beaktas , eller "G(X)" när alla skivor är koherenta. Endera av dessa två konstruktioner kallas Grothendieck-gruppen "K(X)" har kohomologiskt beteende och "G(X)" har homologiskt beteende.

Om "X" är en jämn sort, är dessa två grupper desamma. Om det är en jämn affin sort, delas alla förlängningar av lokalt fria kärvar, så gruppen har en alternativ definition.

Inom topologi , genom att tillämpa samma konstruktion på vektorbuntar, definierade Michael Atiyah och Friedrich Hirzebruch "K(X)" för det topologiska utrymmet "X" 1959 och med hjälp av Botts periodicitetsteorem gjorde de det till grunden för utökad kohomologiteori. Detta spelade en viktig roll i det andra beviset för Atiyah-Singer indexsatsen (cirka 1962). Dessutom ledde detta tillvägagångssätt till en icke-kommutativ K-teori för C*-algebror .

Så tidigt som 1955 använde Jean-Pierre Serre parallellen mellan vektorbuntar och projektiva moduler för att formulera Serres gissning , som säger att varje finitely genererad projektiv modul över en polynomring är fri ; detta påstående visade sig vara sant, men bevisades inte förrän 20 år senare. (Serra-Swan-satsen är en annan aspekt av denna analogi.)

Vidareutveckling

En annan historisk källa för algebraisk K-teori var arbetet av J. G. C. Whitehead et al. om vad som senare blev känt som Whitehead-torsionen.

Detta följdes av en period under vilken olika deldefinitioner av "högre K-teorifunktioner" gavs. Slutligen gavs två användbara och likvärdiga definitioner av Daniel Quillen med hjälp av homotopi teori 1969 och 1972. En variant gavs också av Friedhelm Waldhausen för att studera den "algebraiska K-teorin om utrymmen", som är relaterad till studiet av pseudoisotopier. Många moderna studier av högre K-teori är kopplade till algebraisk geometri och studiet av motivisk kohomologi .

Motsvarande konstruktioner som involverar hjälpkvadratformen kallas L-teori . Det är det huvudsakliga instrumentet för morsekirurgi .

I strängteorin föreslogs K-teorin klassificering av Ramond-Ramond spänningsfält och laddningar av stabila D-braner först 1997 [2] .

Exempel

Det enklaste exemplet på en Grothendieck-grupp är Grothendieck-gruppen av en punkt för ett fält . Eftersom vektorbunten över detta utrymme helt enkelt är ett ändligt dimensionellt vektorrum som är ett fritt objekt i kategorin koherenta remsor (därav också projektiv), är isomorfismklassen monoid , enligt vektorrummets dimension. Motsvarande Grothendieck-grupp är . ${\text{Spec))(\mathbb {F} )$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$
En av de viktiga egenskaperna hos Grothendieck-gruppen i ett Noether-schema är att [3] . Därför är Grothendieck-gruppen av alla Artinian -algebra lika med . $X$ $K(X)=K(X_{\text{röd)))$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {Z}$
En annan viktig formel för Grothendieck-gruppen är den projektiva buntformeln: [4] om är en vektorbunt med rang "r" över ett Noetherian-schema , då är Grothendieck-gruppen i det projektiva knippet en fri -modul med rang "r" med grund . Denna formel låter dig beräkna Grothendieck-gruppen . ${\mathcal {E}}$ $X$ $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatörsnamn {Proj} (\operatörsnamn {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))$ $K(X)$ ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1))$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n))$

Applikationer

Virtuella paket

En användbar tillämpning av Grothendieck-gruppen är definitionen av virtuella vektorbuntar. Till exempel, om vi har en inbäddning av jämna utrymmen , så finns det en kort exakt sekvens $Y\hookrightarrow X$

0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0

var är en konormal kärve i . Om vi har ett speciellt utrymme inbäddat i ett jämnt utrymme , definierar vi en virtuell konormal kärva som $C_{Y/X}$ $Y$ $X$ $Y$ $X$

[\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]

En annan användbar tillämpning av virtuella buntar är relaterad till definitionen av en virtuell tangentbunt för skärningspunkten mellan utrymmen: låt vara projektiva undervarieteter av en jämn projektiv sort. Sedan kan vi definiera den virtuella tangentbunten för deras skärningspunkt som $Y_{1},Y_{2}\subset X$ $Z=Y_{1}\cap Y_{2}$

[T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}] |_{Z}.

Kontsevich använder denna konstruktion i ett av sina verk. [5]

Zhens karaktärer

Chern-klasserna kan användas för att konstruera en ringhomomorfism från en topologisk K-teori för ett rum till (fullborda) dess rationella kohomologiringar. Chern-symbolen "ch" i linjebunten "L" definieras av formeln

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

Mer generellt, om är en direkt summa av radbuntar, med de första Chern-klasserna, definieras Chern-karaktären additivt ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n))$ $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$

\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).

Chern-symbolen är användbar delvis eftersom den gör det lättare att beräkna Chern-klassen för en tensorprodukt. Chern-symbolen används i formuleringen av Hirzebruch-Riemann-Roch-satsen.

Ekvivariant K-teori

En ekvivariant algebraisk K-teori är en algebraisk K-teori relaterad till kategorin ekvivarianta koherenta skivor på ett algebraiskt schema med en linjär algebraisk gruppverkan , via Quillens Q-konstruktion; alltså per definition, $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ $X$ $G$

K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatörsnamn {Coh} ^{G}(X)).

I synnerhet är detta Grothendieck-gruppen . Denna teori utvecklades av R. W. Thomason på 1980-talet. [6] I synnerhet bevisade han ekvivarianta analoger av fundamentala satser som lokaliseringssatsen. $K_{0}^{G}(C)$ $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$

Se även

Bott Periodicity
QC-teori
CR-teori
Lista över kohomologiska teorier
Algebraisk K-teori
Topologisk K-teori
Operator K-teori
Grothendieck-Riemann-Rochs teorem

Anteckningar

↑ [[ Michael Atiyah |Atiyah, Michael]] (2000), K-Theory Past and Present, arΧiv : math/0012213 .
↑ Ruben Minasian ( http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7 Arkiverad 22 september 2020 på Wayback Machine ), och Gregory Moore i K-teori och Ramonds anklagelse - Ramonda Arkiverad från 21 april 2020 på Wayback Machine
↑ Grothendieck-grupp för projektivt utrymme över de dubbla numren . mathoverflow.net . Hämtad 16 april 2017. Arkiverad från originalet 17 april 2017. (obestämd)
↑ Manin, Yuri Ivanovich . Föreläsningar om K-funktion i algebraisk geometri (engelska) // Uspekhi matematicheskikh nauk : journal. - Ryska vetenskapsakademin , 1969. - 1 januari ( vol. 24 , nr 5 ). - S. 1-89 . — ISSN 0036-0279 . - doi : 10.1070/rm1969v024n05abeh001357 . - .
↑ [[ Maxim Kontsevich |Kontsevich, Maxim]] (1995), Uppräkning av rationella kurvor via torusaktioner, Kurvornas modulrum (Texelön, 1994) , vol. 129, Progress in Mathematics, Boston, MA: Birkhauser Boston, sid. 335–368
↑ Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952–1995) Arkiverad 7 februari 2020 på Wayback Machine .

Litteratur

Atiyah M. Föreläsningar om K - teori . - M . : Utländsk litteratur, 1967. - 261 sid.

Länkar

Michael Atiyah . K-teori. — 2:a. - Addison-Wesley , 1989. - (Avancerade bokklassiker). - ISBN 978-0-201-09394-0 .
Handbook of K-Theory / Friedlander, Eric; Grayson, Daniel. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-30436-4 . - doi : 10.1007/978-3-540-27855-9 .
Park, Efton. Komplex topologisk K-teori. - Cambridge University Press , 2008. - V. 111. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0-521-85634-8 .
Swan, RGAlgebraisk K-teori. - Springer , 1968. - T. 76. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-04245-8 .
Karoubi MaxK-teori: en introduktion. - Springer-Verlag , 1978. - (Klassiker i matematik). — ISBN 0-387-08090-2 . - doi : 10.1007/978-3-540-79890-3 .
Karoubi, Max (2006), K-teori. En elementär introduktion, arΧiv : math/0602082 .
Hatcher, Allen Vector Bundles & K-Theory (2003). (obestämd)
Weibel, CharlesK-boken: en introduktion till algebraisk K- teori . - American Math Society, 2013. - Vol. 145.-(Grad. Studier i matematik). - ISBN 978-0-8218-9132-2 .