Idempotens

Idempotens ( lat. idem - samma + potens - kapabel) - en egenskap hos ett objekt eller operation, när operationen upprepas på objektet, för att ge samma resultat som den första. Termen föreslogs av den amerikanske matematikern Benjamin Peirce i tidningar på 1870 -talet .

Exempel på idempotenta operationer:

tillägg med noll : ; $a=a+0=(a+0)+0=((a+0)+0)+0=\dots$
multiplikation med ett : ; $x=x*1=(x*1)*1=((x*1)*1)*1=\dots$
nummermodul : ; $|x|=|(|x|)|=|(|(|x|)|)|=\dots$
val av maxvärde: ; $\max(x,y)=\max(\max(x,y),y)=\max(x,\max(x,y))$
beräkning av den största gemensamma divisorn : ; $\operatörsnamn {gcd} (x,y)=\operatörsnamn {gcd} (\operatörsnamn {gcd} (x,y),y)=\operatörsnamn {gcd} (x,\operatörsnamn {gcd} (x, y))$
addition modulo 2 med noll : ; $a=a\oplus 0=(a\oplus 0)\oplus 0=\dots$
hitta resten av divisionen : ; $r=a\mod b=(a\mod b)\mod b=\dots$
höja till makten av en: . $a^{1}=(a^{1})^{1}=((a^{1})^{1})^{1}\dots$

Element

Ett idempotent element ( idempotent ) i algebra är ett element i en halvgrupp som bevaras när den multipliceras med sig själv: . Den idempotenta satsen säger att en ändlig halvgrupp har en idempotent. $e^2=e$

Ett idempotent element innehåller ett idempotent element (betecknat med ) om . Relationen är en relation av partiell ordning i mängden idempotenta element och kallas den naturliga partiella ordningen på mängden . $e$ $f$ $e\geqslant f$ $ef=e=fe$ $\geqslant$ $E$ $E$

Två idempotenta element i en associativ ring (som kommer att vara en multiplikationssemigrupp) och kallas ortogonala om . $u$ $v$ $uv=0=vu$

Operation

En idempotent binär operation i matematik är en operation med avseende på vilken något element är idempotent i ovanstående mening:

\forall x:\quad x\cdot x=x

Den här egenskapen innehas till exempel av logiskt AND och logiskt ELLER .

En idempotent unär operation är en operation för vilken , eller utförs . $\forall x:f(f(x))=f(x)$ $f \cirkel f = f$

Av de linjära operatorerna är endast identitetsoperatorn , nolloperatorn och parallellprojektionen idempotenta . Därför definieras projektorn i algebra - inklusive i oändliga dimensionella utrymmen - som . $\mathbb {R} ^{n}$ $P \cirkel P = P$

Inom datavetenskap

En idempotent operation inom datavetenskap är en handling vars upprepade upprepning motsvarar en enda.

Ett exempel på en sådan operation är GET-förfrågningar i HTTP-protokollet . Enligt specifikation måste servern returnera identiska svar på identiska GET-förfrågningar (förutsatt att resursen inte har ändrats). Detta gör att dessa svar kan cachelagras korrekt , vilket minskar nätverksbelastningen.

För C - förprocessorn är direktivet " " idempotent om det finns ett dubbelinkluderingsskydd i rubrikfilen . #include "xxx.h"

Litteratur

Peirce B. Linjär associativ algebra . 1870.
Gunawardena, Jeremy (1998), En introduktion till idempotens , i Gunawardena, Jeremy, Idempotens. Baserat på en workshop, Bristol, Storbritannien, 3–7 oktober 1994 , Cambridge: Cambridge University Press , sid. 1–49 , < http://www.hpl.hp.com/techreports/96/HPL-BRIMS-96-24.pdf >
Idempotens - artikel från Encyclopedia of Mathematics . Ivanova O.A.