Operatör (matematik)

Operator ( Sen latinsk operator - arbetare, utförare, från operor - jag arbetar, agerar) - en matematisk mappning mellan mängder , där var och en av dem är utrustad med någon ytterligare struktur (ordning, topologi, algebraiska operationer). Begreppet en operator används i olika grenar av matematiken för att skilja det från andra typer av mappningar (främst numeriska funktioner ); den exakta innebörden beror på sammanhanget, till exempel, i funktionsanalys förstås operatorer som mappningar som associerar funktioner med en annan funktion ("en operator på funktioners rum" istället för "en funktion från en funktion").

Vissa typer av operatörer:

operatorer på funktionsutrymmen ( differentiering , integration , kärnfaltning , Fouriertransform ) i funktionsanalys ;
avbildningar (särskilt linjära) mellan vektorrum (projektorer, koordinatrotationer, homoteter, vektor-matrismultiplikationer) i linjär algebra ;
transformation av sekvenser (faltning av diskreta signaler, medianfilter) i diskret matematik .

Grundläggande terminologi

En operatör sägs agera från set till set . Operatören kanske inte är definierad överallt på ; då talar man om dess definitionsdomän . För resultatet av att tillämpa operatorn för att beteckna eller . $A:X\to Y$ $X$ $Y$ $X$ $D_{A}=D(A)\delmängd X$ $x\i X$ $A$ $x$ $Yxa)$ $Yxa$

Om och är vektorrum , så kan vi i uppsättningen av alla operatorer från till peka ut klassen linjära operatorer . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Om och är vektortopologiska utrymmen , då i uppsättningen av operatorer från till klassen av kontinuerliga operatorer , såväl som klassen av linjära avgränsade operatorer och klassen av linjära kompakta operatorer (även kallade helt kontinuerliga) särskiljs naturligt . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Enkla exempel

En operatör som agerar på funktionsrum är en regel enligt vilken en funktion omvandlas till en annan. Omvandlingen av en funktion enligt regeln till en annan funktion har formen eller, enklare, . $x(t)$ $A$ $y(t)$ $y(t)=A\{x(t)\}$ $y=ax$

Exempel på sådana transformationer är multiplikation med ett tal: och differentiering: . Motsvarande operatorer kallas operatorer för multiplikation med ett tal, differentiering, integration, lösning av en differentialekvation, etc. $y(t)=cx(t)$ $\scriptstyle y(t)={\frac {dx(t)}{dt))$

Operatorer som ändrar ett funktionsargument kallas konverteringsoperatorer eller transformationer . Transformationen ersätter koordinataxlarna, visar funktionen i ett annat utrymme. Till exempel Fourier-transformation från tid till frekvensdomän:

F(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}f(t)e^{ {-it\omega }}\,dt={\mathcal {F}}\{f(t)\}.

Skillnaden mellan en operatör och en enkel överlagring av funktioner i det här fallet är att värdet på funktionen , generellt sett, vid varje punkt beror inte bara på utan på funktionens värden på alla punkter . Låt oss förklara på exemplet med Fouriertransformen. Värdet av denna transformation (funktionsspektrum) vid en punkt ändras med en kontinuerlig förändring i den ursprungliga funktionen i närheten av någon punkt . $y$ $t$ $x(t)$ $x$ $t$ $\omega$ $t$

Operatörsteorin behandlar studiet av operatörers allmänna egenskaper och deras tillämpning för att lösa olika problem . Till exempel visar det sig att operatorn för vektor-matrismultiplikation och faltningsoperatorn för en funktion med vikt har många egenskaper gemensamma.

Grundläggande för praktiken är klassen av så kallade linjära operatorer . Det är också det mest efterforskade. Ett exempel på en linjär operator är operationen att multiplicera en dimensionell vektor med en storleksmatris . Denna operatör mappar -dimensionellt utrymme av vektorer till -dimensionellt utrymme . $n$ $n\ gånger m$ $n$ $m$

Linjära operatorer

En operator (som agerar från ett vektorrum till ett vektorrum) kallas linjär homogen (eller helt enkelt linjär ) om den har följande egenskaper: $L$

kan tillämpas term för term på summan av argumenten: $L(x_{1}+x_{2})=L(x_{1})+L(x_{2})$ ;
en skalär (konstant värde) kan tas ut ur operatorns tecken: $c$ $L(cx)=cL(x)$ ;

Det följer av den andra egenskapen att egenskapen är sann för en linjär homogen operator . $L(0)=0$

En operator kallas linjär inhomogen om den består av en linjär homogen operator med tillägg av något fast element: $L$

L\{x\}=L_{0}\{x\}+\varphi

där är en linjär homogen operator. $L_0$

I fallet med en linjär transformation av diskreta funktioner (sekvenser, vektorer), är de nya värdena för funktionerna linjära funktioner av de gamla värdena : $y_{k}$ $x_k$

y_{k}=\summa _{{l=1}}^{n}T_{{kl}}\,x_{l}

I det mer allmänna fallet med kontinuerliga funktioner tar den tvådimensionella viktmatrisen formen av en funktion av två variabler och kallas kärnan i den linjära integraltransformationen: $K(t,\;\omega )$

\varphi (t)=\int \limits _{V}\!K(t,\omega )f(\omega )\,d\omega =K\{f(\omega )\}.

Operandfunktionen i detta fall kallas spektralfunktionen . Spektrum kan också vara diskret, i vilket fall det ersätts av en vektor . I det här fallet kan den representeras av en ändlig eller oändlig serie funktioner: $f(\omega)$ $f(\omega)$ $W$ $\varphi (t)$

\varphi (t)=\sum _{{i=1}}^{n}T_{i}(t)w_{i}.

Nolloperator

Operatören som tilldelar varje vektor en nollvektor är uppenbarligen linjär; den kallas nolloperatorn [1] . $O$ ${\mathbf {a}}$ $\mathbf {0}$

Identitet (identitet) operator

Operatören som associerar varje vektor med själva vektorn är uppenbarligen linjär; det kallas identitets- eller identitetsoperatören. $E$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {a}}$

Ett specialfall av en linjär operator som returnerar operanden oförändrad:

E{\mathbf {a}}={\mathbf {a}},

det vill säga hur matrisoperatorn definieras av likheten

\sum _{k}E_{{ik}}\,a_{k}=a_{i}

och, som en integrerad aktör, av jämlikheten

\int \limits _{\alpha }^{\beta }\!E(x,t)a(t)\,dt=a(x)

Identitetsmatrisen skrivs mestadels med en symbol ( Kronecker-symbolen ). Vi har: kl och kl . $E_{{ik}}$ $\delta _{{ik}}=\delta _{{ki}}$ $\delta _{{ik}}=1$ $i=k$ $\delta _{{ik}}=0$ $i\neq k$

Enhetskärnan skrivs som ( deltafunktion ). överallt utom , där funktionen blir oändlig och dessutom sådan att $E(x,t)$ $E(x,t)=\delta (tx)$ $\delta(xt)=0$ $x=t$

\int \limits _{\alpha }^{\beta }\!\delta (xt)\,dt=1

Inspelning

Inom matematik och teknik används den villkorliga formen av skrivoperatorer, liknande algebraisk symbolik, i stor utsträckning. Sådan symbolik i ett antal fall gör det möjligt att undvika komplexa transformationer och skriva formler i en enkel och bekväm form. Argumenten till en operator kallas operander , antalet operander kallas operatorns aritet (t.ex. singel, binär). Skrivandet av operatörer kan systematiseras enligt följande:

prefix : där operatorn kommer först och operanderna följer, till exempel:

Q(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n});

postfix : om operatortecknet följer operanderna, till exempel:

(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\;Q;

infix : operator infogas mellan operander, används främst med binära operatorer:

x_{1}\;Q\;x_{2};

positionell : operatörens tecken utelämnas, operatören är implicit närvarande. Oftast skrivs inte produktoperatören (variabler, numeriskt värde per fysisk enhet, matriser, funktionssammansättning) till exempel 3 kg. Denna förmåga hos en enskild operatör att agera på heterogena enheter uppnås genom överbelastning av operatören ;
nedsänkt eller upphöjd till vänster eller höger; används huvudsakligen för exponentiering och val av vektorelement efter index.

Som du kan se tar operatornotationen ofta en förkortad form från den konventionella notationen för funktioner. När du använder prefix- eller postfix-notation, utelämnas parenteser i de flesta fall om operatorns art är känd. Så en enskild operator över en funktion skrivs vanligtvis för korthets skull istället för ; parenteser används för tydlighetens skull, till exempel hanteringen av produkten . , som agerar på , skrivs också . Specialtecken introduceras för att beteckna vissa operatorer, till exempel unary (faktoriell "!", till höger om operanden), (negation, till vänster) eller kalligrafiska symboler, som i fallet med Fourier-transformen av en funktion . Exponentiering kan ses som en binär operator för två argument, eller som en potens eller exponentiell funktion av ett argument. $F$ $f$ $Qf$ $Q(f)$ $Q(fg)$ $F$ $f(x)$ $(Qf)(x)$ $n!$ $-n$ ${\mathcal {F}}\{f(t)\}$ $n^{x}$

Linjär differentialoperatorsymbol

Symbolen för en linjär differentialoperator associerar ett polynom med en differentialoperator, grovt sett, och ersätter sammansättningen av partiella derivator med produkten av de variabler som är associerade med dem. De högre monomierna för operatorsymbolen (operatorns huvudsymbol) återspeglar det kvalitativa beteendet hos lösningen av den partiella differentialekvationen som motsvarar denna operator. Linjära elliptiska partiella differentialekvationer kännetecknas av det faktum att deras huvudsymbol aldrig går till 0.

Låt och vara multiindex och . Sedan lägger vi $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$ $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$

{\begin{aligned}D^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n }}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{ 1))\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n))}{\partial x_{n}^{\alpha _{n))))x_{n}^{\beta _{n }}.\end{aligned}}

Låta vara en linjär differentialordningsoperator på det euklidiska rummet . Då är ett polynom i derivatan , i multiindexnotation kommer det att skrivas som $P$ $k$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $P$ $D$

P=p(x,D)=\summa _{{|\alpha |\leq k}}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }.

Ett polynom är per definition ett helt tecken : $sid$ $P$

\sigma P(\xi )=p(x,\xi )=\summa _{{|\alpha |\leq k}}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }.

Operatörens huvudsymbol består av monomer med maximal grad : $\sigma _{P}$

\sigma _{P}(\xi )=\summa _{{|\alpha |=k}}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }

och är den del av den fullständiga operatorsymbolen som transformeras som en tensor vid ändring av koordinater.

Se även

Lista över operatorer (matematik)
Potentiell operatör

Anteckningar

↑ Shilov G. E. Matematisk analys. Specialkurs. - M .: Fizmatlit, 1961. - C. 203

Litteratur

(1995) Operatör. Matematisk encyklopedisk ordbok. Ch. ed. Yu. V. Prokhorov. M.: "Stora ryska encyklopedin".