Potentiell operatör

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 april 2019; verifiering kräver 1 redigering .

En potentiell operator är en matematisk operator som mappar en öppen uppsättning av ett verkligt normerat utrymme till det dubbla rummet och är gradienten för någon funktion med ett intervall i det dubbla rummet.

Definition

Beteckna — ett verkligt normerat utrymme, — dess dubbla utrymme, — en öppen uppsättning från . En operatör kallas potential om det för någon finns en funktionell sådan att . Funktionen kallas operatörens potential [1] . $E$ $E^{*}$ $A$ $E$ $F:A\rightarrow E^{*}$ $x\i A$ $f(x)\in E^{*}$ $F(x)=gradf(x)$ $f(x)$ $F$

Potentialvillkor för operatörer

Låt operatören vara Gateaux differentierbar vid varje punkt i ett konvext öppet set . Sedan om differentialen är kontinuerlig i vid varje punkt av , då för potentialitet i det är nödvändigt och tillräckligt att det är symmetriskt vid [2] . $F:E\rightarrow E^{*}$ $\omega \subset E$ $DF(x,h)$ $x$ $\omega$ $F$ $\omega$ $F$ $\omega$

Förklaringar

En operator kallas symmetrisk vid en punkt om den har en Gateaux-differential i något område av punkten och likheten gäller för någon . $F:E\rightarrow E^{*}$ $x_{{0}}$ $x_{{0}}$ $h_{1},h_{2}\in E$ $\langle DF(x_{0},h_{1})h_{2}\rangle =\langle DF(x_{0},h_{2})h_{1}\rangle$

Nemytsky-operatör

Nemytsky -operatorn ges av formeln , där är en verklig funktion , kontinuerlig i nästan varje fix och mätbar som en funktion för varje fix , och olikheten $hu=g(u(x),x)$ $g(u,x)$ $u\in [-\infty ,+\infty ]$ $x\i B$ $x$ $u$ ${\displaystyle |g(u,x)|\leqslant a(x)+b|u|^{p-1))$ $p>1$ $a(x)\in L^{p}(B)$ $B$ $s$

Nemytskii-operatören är en kontinuerlig potentiell operatör. Det verkar från Lebesgue- utrymmet till Lebesgue-utrymmet , där och dess potential bestäms av formeln , där är ett godtyckligt tal. $L^{p}(B)$ $L^{q}(B)$ $p^{-1}+q^{-1}=1$ $f$ $f(u)=f_{0}+\int _{B}dx\int _{0}^{u(x)}g(v,x)dv$ $f_{0}$

Anteckningar

↑ 1 2 Weinberg, 1979 , sid. 65.
↑ Weinberg, 1979 , sid. 66.

Litteratur

Weinberg M. M. Funktionsanalys. - M . : Utbildning, 1979. - 128 sid.