Delta funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 februari 2020; kontroller kräver 12 redigeringar .

Deltafunktion (eller deltamått, δ - funktion, δ -Dirac funktion, Dirac delta, enhetsimpulsfunktion ) är en generaliserad funktion som låter dig registrera en punktåtgärd, såväl som den rumsliga tätheten av fysiska storheter (massa, laddning, intensiteten hos en värmekälla, kraft , etc. ), koncentrerad eller applicerad vid en punkt.

Till exempel skrivs densiteten för en enhetspunktmassa m belägen vid punkt a i endimensionell euklidisk rymd med hjälp av en -funktion i formen Deltafunktion kan också användas för att beskriva fördelningen av laddning, massa etc. på ytor eller linjer . $\R^1,$ $\delta$ $m\delta(xa).$

Trots den vanliga skrivningsformen är -funktionen inte en funktion av en reell variabel, utan definieras som en generaliserad funktion : en kontinuerlig linjär funktionell på utrymmet för differentierbara funktioner. Du kan införa en derivata för δ-funktionen, som också kommer att vara en generaliserad funktion, och en integral, definierad som en Heaviside-funktion . Det är lätt att hitta sekvenser av vanliga klassiska funktioner som konvergerar svagt till en -funktion. $\delta (x),x\in \mathbb {R} ,$ $\delta$ $\delta$

Det är möjligt att skilja mellan endimensionella och flerdimensionella deltafunktioner, men de senare kan representeras som en produkt av endimensionella funktioner i en mängd lika med dimensionen av det utrymme på vilket den flerdimensionella funktionen är definierad.

Introducerad av den engelske fysikern Paul Dirac .

Definitioner

Det finns olika uppfattningar om konceptet med en deltafunktion. De resulterande föremålen är strängt taget olika, men de har ett antal gemensamma karakteristiska egenskaper. Alla konstruktioner som anges nedan generaliserar naturligtvis till fall av utrymmen av högre dimension . $(\R^n,\n>1)$

Enkel definition

Deltafunktionen (Dirac-funktionen) för en reell variabel kan definieras som en funktion som uppfyller följande villkor: $\delta(x)$

$\delta(x)=\left\{\begin{matrix} +\infty, & x=0, \\ 0, & x\ne 0; \\ \end{matris}\höger.$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,dx=1.$

Det vill säga, denna funktion är inte lika med noll endast vid den punkt där den vänder sig till oändligheten så att dess integral över varje grannskap är lika med 1. I denna mening liknar begreppet deltafunktion de fysiska begreppen för en punkt massa eller en punktladdning . För att förstå integralen är det användbart att föreställa sig en viss figur på ett plan med enhetsarea , till exempel en triangel . Om vi minskar basen av denna triangel och ökar höjden så att arean förblir oförändrad, får vi i begränsningsfallet en triangel med en liten bas och en mycket stor höjd. Genom antagande är dess area lika med enhet, vilket visas av integralen. Istället för en triangel kan du använda vilken figur som helst utan förlust av allmänhet. Liknande villkor gäller för deltafunktioner definierade på $x=0$ $x=0$ $\mathbb{R}^n.$

Dessa likheter anses vanligtvis inte vara definitionen av deltafunktionen, men i många fysikläroböcker definieras den på detta sätt, och detta räcker för en korrekt definition av deltafunktionen. Observera att denna definition av deltafunktionen innebär följande likhet

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(xy)f(x)\,dx=f(y)

(filtreringsegenskap) för valfri funktion f . På grund av egenskapen vid , ändras inte värdet på denna integral om funktionen ersätts av funktionen , som är lika vid punkten och har godtyckliga värden vid andra punkter. Till exempel tar vi , tar sedan ut det från integraltecknet och med hjälp av det andra villkoret i definitionen av deltafunktionen får vi den önskade likheten. $\delta(xy)=0$ $x\ney$ $f(x)$ $\tilde{f}(x)$ $f(x)$ $x=y$ $\tilde{f}(x)=f(y)=\operatörsnamn {konst}$ $f(y)$

Deltafunktionens derivator är också lika med 0 nästan överallt och blir till vid . $\pm\infty$ $x=0$

Klassisk definition

En deltafunktion definieras som en linjär kontinuerlig funktion på något funktionsutrymme ( utrymmet för testfunktioner ). Beroende på mål och önskade egenskaper kan detta vara ett funktionsutrymme med kompakt stöd , ett funktionsutrymme som snabbt minskar i oändligheten , jämna funktioner på ett grenrör , analytiska funktioner , etc. För att definiera derivator av en deltafunktion med bra egenskaper, i alla fall anses huvudfunktionerna vara oändligt differentierbara, utrymmet för huvudfunktioner måste också vara ett komplett metriskt utrymme . Se den relaterade artikeln för en allmän inställning till generiska funktioner . Sådana generaliserade funktioner kallas även distributioner .

Vi kommer att överväga det enklaste alternativet. Som utrymmet för grundläggande funktioner betraktar vi utrymmet för alla oändligt differentierbara funktioner på intervallet. Sekvensen konvergerar till om funktionerna på en kompakt uppsättning konvergerar till enhetligt tillsammans med alla deras derivator: ${\mathcal {E}}$ $\varphi_n\in\mathcal{E}$ $\varphi\in\mathcal{E}$ $K\in\R$ $\varphi_n$ $\varphi$

\lim_{n\to\infty}\varphi_n=\varphi\iff\sup_j\sup_{x\in K}\left|\varphi^{(j)}_n(x)-\varphi^{(j)} (x)\right|\xrightarrow{n\to\infty}\,0.

Detta är ett lokalt konvext mätbart utrymme. Vi definierar deltafunktionen som en funktionell sådan att $\delta\in\mathcal{E}^\prime$

\forall\varphi\in\mathcal{E}:\;\lang\delta;\;\varphi\rang=\varphi(0).

Kontinuitet betyder att om , då . Här är värdet av funktionen på funktionen . $\varphi_n\to\varphi$ $\lang\delta;\;\varphi_n\rang\to\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\varphi$

Colombo delta funktion

Det integraluttryck som används för att arbeta med deltafunktionen kan ges en betydelse nära intuitiv, inom ramen för teorin om algebra av generaliserade Colombo -funktioner ( engelska Colombeau algebra ) [1] .

Låt vara en uppsättning oändligt differentierbara funktioner med kompakt stöd, det vill säga inte lika med noll endast på en avgränsad uppsättning. Tänk på en uppsättning funktioner $\mathcal{D}$ $f\kolon\R\till\R$

\mathcal{A}=\left\{\varphi\in\mathcal{D}\,\bigg|\int_\R\varphi(x)\,dx=1,\;\int_\R x\varphi(x )\,dx=0\right\}.

En generaliserad funktion är en ekvivalensklass av funktioner som är oändligt differentierbara med avseende på x för var och en och uppfyller ett visst modereringsvillkor (förutsatt att alla dess derivator med avseende på x växer ganska långsamt vid ). Två funktioner antas vara likvärdiga om , där finns en annan klass av funktioner med restriktioner för tillväxt som $R\colon\mathcal{A}\times\R\to\R,$ $R\colon(\varphi,\;x)\mapsto R(\varphi,\;x),$ $\varphi\in\mathcal{A}$ $\varphi_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}\varphi(x\varepsilon^{-1}),$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepsilon\till 0$ $R_1-R_2\in\mathcal{N}$ $\mathcal{N}$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepsilon\till 0.$

Deltafunktionen definieras som Fördelen med Colombo-metoden är att dess generaliserade funktioner bildar en kommutativ associativ algebra, medan begreppen integration, differentiering, gränser, jämnt värde vid en punkt naturligt sträcker sig till uppsättningen av generaliserade funktioner. I denna mening kan deltafunktionen verkligen ses som en funktion lika med 0 överallt utom vid punkten 0, och lika med oändlighet vid noll, eftersom Colombos teori inkluderar teorin om oändligt stora och oändligt små tal, liknande icke-standardanalys . $\delta(\varphi,\;x)=\varphi(-x).$

Egorovs tillvägagångssätt

En liknande teori om generaliserade funktioner presenterades i Yu. V. Egorovs arbete [2] . Även om den inte motsvarar Colombo-teorin är designen mycket enklare och har de flesta av de önskade egenskaperna.

En generaliserad funktion är en ekvivalensklass av sekvenser . Sekvenser anses vara ekvivalenta om, för en kompakt uppsättning , funktionerna för sekvenser sammanfaller med att börja från något tal: $f=(f_1,\;f_2,\;\ldots),\;f_i\in C^\infty(\R).$ $f$ $\tilde f$ $\Omega\Subset\R$ $\Omega$

f\sim\tilde f\iff\forall\Omega\Subset\R\ \exists N\ \forall k>N\colon f_k|_\Omega={\tilde f}_k|_\Omega.

Alla typer av operationer på sekvenser (multiplikation, addition, integration, differentiering, sammansättning, ...) definieras komponent för komponent. Till exempel definieras mängdintegralen I som sekvensens ekvivalensklass

\int_I f(x)\,dx=[(a_1,\;a_2,\;\ldots)],\;a_i=\int_I f_i(x)\,dx.

Två generaliserade funktioner är svagt lika om det gäller någon oändligt jämn funktion $\varphi$

\lim_{k\to\infty}\int_I(f_k(x)-{\tilde f}_k(x))\varphi(x)\,dx=0.

I detta fall bestäms deltafunktionen av vilken deltaformad sekvens som helst (se nedan ), alla sådana generaliserade funktioner är svagt lika.

Egenskaper

Deltafunktionen är jämn .
Integralen av deltafunktionen över ett intervall som innehåller noll, det vill säga ett intervall av formen där och är godtyckliga reella positiva tal, är lika med 1. $(-a_1,\;a_2),$ $a_{1}$ $a_{2}$
$x\delta^\prime(x)=-\delta(x).$
$\delta(f(x))=\sum_k\frac{\delta(x-x_k)}{|f'(x_k)|}$ , var är funktionens enkla nollor . $x_k$ $f(x)$

Antiderivatan av den endimensionella deltafunktionen är Heaviside-funktionen :

\theta (x)=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}0,&x<0,\\1,&x\geqslant 0.\\\end{array} }\höger.

Filtreringsegenskap för deltafunktionen:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).

δ-funktionen som en svag gräns

Låta $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.$

Sedan sekvensen

f_n(x)=nf(nx)

konvergerar svagt till -funktionen. $\delta$

Valet av en integrerbar funktion vars bestämda integral är lika med 1 i området från till är godtyckligt. $f(x),$ ${-\infty }$ ${+\infty }$

Till exempel, eftersom du kan välja funktionen sinc : ger sekvensen: $f(x)$ $f(x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x)),$

f_{n}(x)=n{\frac {\sin(n\pi x)}{n\pi x))={\frac {\sin(n\pi x)}{\pi x }}.

Om det krävs att alla funktioner i sekvensen är positiva överallt, kan man välja till exempel den normaliserade Gaussiska funktionen eller någon annan överallt icke-negativ funktion vars integral är lika med 1:

f(x)=\frac1{\sqrt{\pi}}e^{-x^2},

f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-(nx)^2}.

Integral representation

I många applikationer visar sig den integrerade representationen av deltafunktionen vara bekväm:

\delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}\,d\omega.

Bevis

Tänk på integralen

I(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\,d\omega,

(ett)

vilket kan tolkas som gränsen

I(t)=\lim _{N\to \infty }I_{N}(t),

var

I_N(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-N}^N e^{i\omega t}\,d\omega=\frac{1}{\pi}N\ frac{\sin{tN}}{tN}.

(2)

Det är känt att

\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt=\pi.

(3)

I kraft av (3), för alla , är likheten sann: $N$

\int\limits_{-\infty}^{\infty}I_N(t)\,dt=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin{tN }}{tN}\,d(tN)=1.

(fyra)

Det kan visas ( se ovan ) att med en obegränsad tillväxt av N, för funktionen (2) visar sig alla egenskaper hos deltafunktionen vara sanna, och i en viss mening tenderar den att $\delta(t).$

Derivat av deltafunktionen

Per definition av derivatan av deltafunktionen : $\delta(x)$

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(xa)\,dx=-f^\prime(a)

(utvidgning av integration med delar till fallet med integrander som innehåller en deltafunktion).

På liknande sätt för den n :e derivatan av deltafunktionen:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(xa)\,dx.

Och efter att ha integrerat med delar n gånger får vi äntligen:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=\left.(-1)^n\frac{\partial^nf (x)}{\partial x^n}\right|_{x=a}.

För derivatan av deltafunktionen gäller följande identitet:

f(x)\delta^\prime(x)=f(0)\delta^\prime(x)-f^\prime(0)\delta(x),

som kan erhållas genom att differentiera produkten . $f(x)\delta(x)$

Fouriertransform

I det här avsnittet kommer vi att tillämpa normaliseringen som motsvarar enhetskoefficientkonventionen i den inversa transformationen, det vill säga att ha i åtanke $f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d \omega.$
Formlerna i detta avsnitt har motsvarande analoger för den flerdimensionella Fouriertransformen.

Fouriertransformen kan appliceras på deltafunktionen :

F\left\{\delta(t-t_0)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0)\cdot e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot t_0}.

Således är spektrumet (Fourier-transformen) för en deltafunktion centrerad vid , en "våg" i frekvensrymden, med en "period" . Speciellt är spektrumet (Fourier-transform) för en deltafunktion centrerad vid noll en konstant (i en lös bemärkelse, en "våg" med en oändligt stor "period"): $t_0$ $\frac{2\pi}{t_0}$

F\left\{\delta(t)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot 0} = \frac{1} {\sqrt{2\pi}}.

Följaktligen, tvärtom, är deltafunktionen Fouriertransformen av en ren övertonsfunktion eller konstant.

Representation av flerdimensionella deltafunktioner i olika koordinatsystem

I n -dimensionellt utrymme i kartesiska koordinater (ortonormal basis):

\int\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\,d^nx=1;

\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)=\delta(x_1)\delta(x_2)\ldots\delta(x_n).

I 2D-rymden:

\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^2(x,\;y)\,dx\,dy=1;

\delta^2(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^2(x,\;y);

\delta^2(x,\;y)=\delta(x)\delta(y).

I polära koordinater:

\delta^2(r,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{2\pi\left|r\right|}

- oförskjutet i förhållande till ursprunget (med en singularitet vid r = 0 ),

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)}{|r|}

— med en singularitet vid en punkt i allmän position för r = 0 förlängs med noll.

(r_0,\;\varphi_0);

I 3D-rymden:

\iiiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^3(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1;

\delta^3(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z).

I ett cylindriskt koordinatsystem :

\delta^3(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{2\pi r}

— oförskjutet i förhållande till ursprunget (med en singularitet vid ),

r=0,\;z=0

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)\delta(z-z_0)}{|r|}

— med en singularitet vid en punkt i allmän position för r = 0 förlängs med noll.

(r_0,\;\varphi_0,\;z_0);

I ett sfäriskt koordinatsystem :

\delta^3(r,\;\theta,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{4\pi r^2}

- oförskjutet i förhållande till ursprunget (med en singularitet vid r = 0 ). I formler med singularitet vid origo används ofta dubbelt så stora koefficienter (1/π för cylindrisk och polär, 1/2π för sfärisk). Detta beror på att integrationsresultatet antas vara dubbelt så litet om singularpunkten ligger exakt på gränsen för integrationsintervallet.

Fysisk tolkning

Nära den laddade punkten är fältet oändligt, Taylor-serien för fältet konvergerar inte, så speciella funktioner introduceras. En sådan funktion är deltafunktionen. Frågan om fältet för en punktladdad partikel är jämförelsevis komplicerad, så låt oss först betrakta ett enklare exempel.

Instant Boost

Låt en partikel som kan röra sig längs en rät linje, vid ett slag av försumbar varaktighet, plötsligt få lite fart. Låt oss ställa oss en fråga: hur man beräknar accelerationen som kroppen förvärvar? Låt oss bygga en graf över förändringen i hastighet över tiden. Grafen kommer att se ut så här:

Denna graf är nästan överallt grafen för Heaviside-funktionen . Derivatan av Heaviside-funktionen är en enhetsdeltafunktion, vars graf konventionellt kan avbildas som

Denna graf visar oändlig acceleration med momentan acceleration. I allmänhet kan slagaccelerationen skrivas som

a(t)=\nu\delta(t-t_a).\

Massa/laddning av en materialpunkt

Om du behöver hitta den totala massan (totalladdningen) för en viss densitetsfördelning (eller laddningstätheten ), som tillsammans med den kontinuerliga komponenten också innehåller punktmassor (laddningar), så är det praktiskt istället för en formel som separat tar ta hänsyn till den kontinuerliga slutliga densiteten och diskreta bidrag: ${\displaystyle \rho _{\mathrm {fortsätt} ))$

{\displaystyle M=\int \rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )\,dV+\sum _{i}m_{i))

var är radievektorn för positionen för elementet i fråga (för visshet motsvarar beteckningarna massan, inte laddningen), det är enkelt att skriva: $\mathbf {x}$

M=\int \rho (\mathbf {x} )\,dV

vilket innebär att det inkluderar både kontinuerliga och deltaliknande, det vill säga koncentrerade till geometriska punkter (en för varje punktobjekt ), komponenter: $\rho(\mathbf{x})$ $mi$

\rho (\mathbf {x} )=\rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )+\summa _{i}m_{i}\delta (\mathbf {x} - \mathbf {x} _{i})

Andra exempel

Deltafunktionen används i matematisk fysik för att lösa problem som inkluderar klumpade storheter. I kvantmekanikens semiklassiska gräns ( ) är vågfunktioner lokaliserade till vågpaket med deltaliknande (det vill säga har formen av en deltafunktion i gränsen) envelopp, och regionerna för deras lokalisering rör sig längs klassiska banor enligt Newtons ekvationer . $\hbar\högerpil 0$
Fouriertransformen av enhet är en deltafunktion. Detta gör det möjligt att mer bekvämt och matematiskt noggrant formulera olika problem relaterade till Fouriertransformen, vilka är väldigt många: vågoptik, akustik och teorin om vibrationer. Inom kvantmekaniken spelar Fouriertransformerna av vågfunktioner en avgörande grundläggande och teknisk roll; det var för detta som Dirac först introducerade deltafunktionen.
Deltafunktioner spelar rollen som egenfunktioner för en operator med ett kontinuerligt spektrum i representationer där denna operator är diagonal. Således spelar de rollen som en bas i den diagonala representationen av operatören.
En viktig tillämpning av deltafunktioner är deras deltagande i apparaten för Greens funktioner av linjära operatorer. För en linjär operator som verkar på generaliserade funktioner över ett grenrör , har ekvationen som definierar den gröna funktionen med en källa vid en punkt formen $L$ $M$ $g$ $x_0,$

L\,g(x,\;x_0)=\delta(x-x_0).

Särskilt vanligt är tillämpningen av denna apparat på Laplace-operatorn (elektrostatik, värmeledningsförmåga, diffusion, mekanisk elasticitetsteori) och operatorer liknande den, såsom d'Alembert-operatorn (akustik, elektrodynamik, kvantfältteori, där Greens funktion har ofta det speciella namnet propagator ).

För Laplacian i Greens funktion är funktionen , så att $\mathbb {R} ^{3}$ $1/r$

\Delta\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}),

var är avståndet till koordinaternas ursprung. Detta faktum används för att bevisa att uttrycket för den skalära potentialen

r

\Phi (\mathbf {x} )=\int {\frac {\varrho (\mathbf {x} ^{\prime })}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^ {\prime }\right|}}\,d^{3}x^{\prime }

uppfyller Poissons ekvation :

\Delta\Phi=-4\pi\varrho.

Se även

Anteckningar

↑ Colombeau JF Elementär introduktion till nya generaliserade funktioner. - Amsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 s. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Egorov Yu. V. Om teorin om generaliserade funktioner // Uspekhi Mat. - 1990. - T. 45 , nr. 5 (275) . - S. 3-40 .

Litteratur

Dirac P. A. M. Fundamentals of quantum mechanics / Per. från engelska. - M. , 1932 (det finns många nytryck).
Kudryavtsev L. D. Kort kurs i matematisk analys. - Volym 2. - ISBN 5-9221-0185-4 .
Weisstein, Eric W. Delta Function (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Hermander L. Analys av linjära differentialekvationer. - Volym 1.
Hermander L. Linjära partiella differentialoperatorer.
Gel'fand I. M., Shilov G. E. Generaliserade funktioner och åtgärder på dem.
Krasnopevtsev EA Fysikens matematiska metoder. Utvalda frågor.