Svag konvergens

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 juli 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Svag konvergens i funktionsanalys är en sorts konvergens i topologiska vektorrum .

Definition

Låta vara ett topologiskt fält , vara ett topologiskt vektorrum över fältet , och vara det dubbla utrymmet av , bestående av alla kontinuerliga linjära funktionaler på . Då är den svaga topologin i ett utrymme den svagaste av topologierna där alla linjära funktionaler som är kontinuerliga i den ursprungliga topologin i detta utrymme är kontinuerliga. $K$ $X$ $K$ $X^{*}$ $X$ $X$

Förbasen för den svaga topologin bildas av uppsättningarna

{\displaystyle V_{x,f,\varepsilon }=\{\,y\in X:|f(y)-f(x)|<\varepsilon \,\))

för alla , , och . $x\i X$ $f\in X^{*}$ $\varepsilon >0$

Med andra ord, en sekvens av element konvergerar svagt till ett element om, för någon kontinuerlig linjär funktionell, sekvensen av tal konvergerar till . $x_{n}\in X$ $x_{\infty }\in X$ $f\in X^{*}$ $\{f(x_{n})\}$ $f(x_{\infty })$

Den svaga* topologin i är topologin vars prebas bildas av mängderna $X^{*}$

{\displaystyle V_{f,x,\varepsilon }^{*}=\{\,g\in X^{*}:|g(x)-f(x)|<\varepsilon \,\))

för alla , , och . $x\i X$ $f\in X^{*}$ $\varepsilon >0$

Med andra ord, en sekvens av funktioner svagt* konvergerar till en funktion om för någon , sekvensen av tal konvergerar till . $f_{n}\in X^{*}$ $f_{\infty }\in X^{*}$ $x\i X$ $f_{n}(x)$ $f_{\infty }(x)$

Anteckningar

Konvergens i rymden , definierad av dess ursprungliga topologi, sägs vara stark . $X$

Egenskaper

Om en sekvens konvergerar starkt till något element, så konvergerar den också svagt till detta element.
I ett ändligt dimensionellt euklidiskt rum sammanfaller begreppen stark och svag konvergens.
I fallet där är ett normerat vektorrum, gäller följande påståenden. En svagt konvergent sekvens av element är avgränsad, det vill säga för något positivt tal . En sekvens av element konvergerar svagt till ett element om det är avgränsat och konvergerar till för varje kontinuerlig linjär funktionell från någon delmängd av utrymmet vars linjära spännvidd är överallt tät i . $X$ $\{x_{n}\}\subset X$ $\|x_{n}\|\leq C$ $C$ $\{x_{n}\}\subset X$ $x_{0}\i X$ $\{f(x_{n})\}$ $f(x_{0})$ $X^{*}$ $X^{*}$
Banach-Alaoglu-Bourbakis sats . Den slutna enhetens boll av rymdär kompakt i den svaga* rymdtopologin. $X^{*}$ $X^{*}$
Eberlein-Shmulians sats. En delmängd av ett Banach-utrymme är svagt kompakt om och endast om det är svagt sekventiellt kompakt. $A$ $X$

Exempel

Låta vara utrymmet för kontinuerliga funktioner på ett intervall med en norm definierad av enhetlig konvergens (stark konvergens). En sekvens av funktioner konvergerar svagt till en funktion om och endast om två villkor är uppfyllda: 1) den är enhetligt begränsad, det vill säga för alla för något positivt tal , och 2) konvergerar till punktvis, det vill säga den numeriska sekvensen konvergerar till för någon . $X=C[a,b]$ $[a,b]$ $\{x_{n}(\cdot )\}$ $x_{0}(\cdot )$ $|x_{n}(t)|\leq C$ $t\in [a,b]$ $C$ $\{x_{n}(\cdot )\}$ $x_{0}(\cdot )$ $\{x_{n}(t)\}$ $x_{0}(t)$ $t\in [a,b]$

Litteratur

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elements of functional analysis, - M .: Nauka, 1965.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys, - Vilken utgåva som helst.
Rudin U. Funktionsanalys, - M .: Mir, 1975.