Topologibas

Basen för en topologi ( basen av ett topologiskt utrymme, basen för en topologi, öppen bas ) är en familj av öppna delmängder av ett topologiskt utrymme , så att varje öppen uppsättning in är representerad som en förening av element i denna familj. $X$ $X$

Ofta presenteras basen för topologin för att introducera topologin. Till exempel, på ett metriskt utrymme definieras topologin i termer av basen som bildas av alla öppna bollar.

Definition

En familj av öppna uppsättningar av ett topologiskt utrymme kallas basen av en topologi (eller ett topologiskt utrymme) om någon öppen uppsättning från kan representeras som en förening av element i familjen . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$

En familj av öppna uppsättningar i ett topologiskt utrymme är en bas om och endast om det för varje punkt i rummet och dess grannskap finns en uppsättning från sådan att . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $x$ $X$ $U$ $V$ ${\mathfrak {B}}$ $x\i V\delmängd U$

Vikten av ett topologiskt utrymme

Minsta kardinalitet för alla baser i rymden kallas vikten av det topologiska rummet . Rymdvikten betecknas vanligtvis med . $X$ $X$ $X$ $w(X)$

Egenskaper

För varje bas finns det en delmängd , som är basen och har kardinalitet lika med utrymmets vikt. ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}_{0}$
Om utrymmets vikt inte är mer än räknebart (det vill säga det har en räknebar bas), så kallas det ett utrymme med det andra axiomet för räknebarhet . $X$ $X$ $X$
Det finns en överallt tät kraft i viktutrymmet . $\tau$ $\leqslant \tau$

Variationer och generaliseringar

Den lokala basen för utrymmet vid en punkt (punktens bas ) är en familj av kvarter i punkten med följande egenskap: för varje område av punkten finns det ett element som är . $X$ $x\i X$ $x$ $\mathfrak{B}(x)$ $x$ $Oxe$ $x$ $V \in \mathfrak{B}(x)$ $x \in V \delmängd O_x$
- Minsta kardinalitet för alla lokala baser i utrymmet vid en punkt kallas karaktären för utrymmet vid punkten och betecknas med . $X$ $x\i X$ $X$ $x$ $\chi (x,X)$
- Det högsta av tecknen i utrymmet på alla punkter kallas utrymmets karaktär och betecknas med . $X$ $x\i X$ $X$ $\chi (X)$
- Rum som har en räknebar lokal bas vid varje punkt kallas utrymmen med det första axiomet för räknebarhet .
- En familj av öppna mängder i X är en bas om och endast om, för varje punkt , underfamiljen av alla element som innehåller punkten är den lokala basen för punkten . ${\mathfrak {B}}$ $x\i X$ $\mathfrak{B}(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$
Ett grannskapssystem är en familj som är den lokala basen för utrymmet vid en punkt för varje . $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$ $\mathfrak{B}(x)$ $X$ $x$ $x\i X$
En prebas är en familj av öppna delmängder av ett topologiskt utrymme så att mängden av alla mängder som är skärningspunkten mellan ett ändligt antal element , bildar basen av rummet . $Y$ $X$ $Y$ $X$
En sluten bas är en familj av alla tillägg till delar av någon bas.
$\pi$ -bas ( gitterbas ) är en familj av icke-tomma öppna delmängder av rymden så att varje icke-tom uppsättning öppen för innehåller en uppsättning av , d.v.s. Hausdorff tät i rymden . Vilken bas som helst är en bas. Det omvända är inte sant, till exempel i Stone-Cech-komprimeringen av mängden naturliga tal, är familjen av enpunktsdelmängder av mängden en -bas, men är inte en bas. ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ $X$ $\pi$ $\beta \mathbb{N}$ $\mathbb {N}$ $\pi$
En pseudobas är en familj av öppna delmängder så att skärningspunkten för alla dess element som innehåller en fast punkt sammanfaller med denna punkt. Finns endast i T 1 -mellanslag . Ett exempel på ett utrymme med en räknebar pseudobas som inte har en räknbar bas är utrymmet av sekvenser av nollor och ettor med en diskret topologi (pseudobas är en uppsättning som består av alla sekvenser med ett fast värde vid någon position).

Definiera en topologi med hjälp av ett bas-, prebas- och grannskapssystem

En familj av delmängder av en godtycklig mängd är basen för en viss topologi på om och endast om den uppfyller följande villkor: ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$

Varje punkt tillhör någon uppsättning från familjen . $x\i X$ $U$ ${\mathfrak {B}}$
För alla uppsättningar och vilken punkt som helst , finns det en uppsättning sådan att . $U,V\in {\mathfrak {B}}$ $x\in U\cap V$ $W\in {\mathfrak {B}}$ $x\in W\subset U\cap V$

I det här fallet är en bas av topologin där mängderna är öppna om och bara om de kan representeras som en förening av några delmängder av . En sådan topologi kallas topologin som genereras av basen .

{\mathfrak {B}}

X

{\mathfrak {B}}

{\mathfrak {B}}

För att en familj av delmängder av en godtycklig uppsättning ska vara en prebas för någon topologi på , är det nödvändigt och tillräckligt att ovanstående villkor 1 är uppfyllt. Dessutom, i denna topologi är de och endast de uppsättningarna öppna som kan representeras som en union av ändliga skärningspunkter för vissa delmängder från . En sådan topologi kallas den prebasgenererade topologin . Detta är den minsta topologin som innehåller familjen . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$

En uppsättning familjer av delmängder av en godtycklig uppsättning är ett system av grannskap av någon topologi om och endast om det uppfyller följande villkor: $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$ $X$ $X$

För varje familjen är icke-tom och för någon . $x\i X$ $\mathfrak{B}(x)$ $x\i U$ $U\in {\mathfrak {B}}(x)$
För alla finns det sådant . $y\in U\in {\mathfrak {B}}(x)$ $V\in {\mathfrak {B}}(y)$ $V\delmängd U$
För vilken uppsättning som helst finns det , sådan att . $V,W\in {\mathfrak {B}}(x)$ $U\in {\mathfrak {B}}(x)$ $U\subset V\cap W$

I detta fall är ett grannskapssystem av topologin på , som består av alla delmängder som kan representeras som en förening av underfamiljer av familjen . En sådan topologi kallas topologin som genereras av grannskapssystemet .

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

X

\bigcup _{{x\in X}}{\mathfrak {B}}(x)

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

Exempel

Basen för varje topologiskt utrymme är familjen av alla dess öppna uppsättningar.
En diskret topologi har familjen av alla dess enpunktsundergrupper som bas .
Om och är topologiska utrymmen med baser av topologier och , då ges topologin på den kartesiska produkten av basen $X$ $Y$ $\mathfrak{B}_X$ $\mathfrak{B}_Y$ $X\ gånger Y$

\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}

I det här fallet kommer topologin på inte att bero på vilka baser av utrymmena X och Y som används för att definiera den. En sådan topologi kallas (standard) topologin för den kartesiska produkten av topologiska utrymmen .

X\ gånger Y

Topologin för utrymmet av reella tal ges av systemet med alla intervaller , som utgör grunden för denna topologi. På liknande sätt ges topologin för ett utrymme av basen av öppna staplar , och denna topologi sammanfaller uppenbarligen med standardtopologin för den direkta produkten av utrymmen. $\mathbb {R}$ $(a,b)$ ${\R}^n$ $(a_1,b_1)\ gånger(a_2,b_2)\ gånger\prickar\ gånger(a_n,b_n)$
En ordnad topologi definieras vanligtvis som en topologi som genereras av en uppsättning öppna intervalluppsättningar.
En metrisk topologi definieras vanligtvis som en topologi som genereras av en uppsättning öppna bollar som ges av en viss metrik .

Se även

Yesenin-Volpins sats
Bindningsaxiom
Botten av basen

Litteratur

Alexandrov PS, Kolmogorov AN Introduktion till den allmänna teorin om mängder och funktioner. - M.-L., 1948.
Uryson PS Proceedings on topologi och andra områden av matematik. - V. 1-2. - M.-L., 1951.
Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Introduktion till dimensionsteorin. Introduktion till teorin om topologiska rum och den allmänna dimensionsteorin. - M., 1973.
Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Grunderna för allmän topologi i problem och övningar. - M., 1974.
Bourbaki N. Allmän topologi. Grundläggande strukturer / Per. från franska - M., 1968.
Engelking, R. Allmän topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 sid.
Kelly, J.L. Allmän topologi. — M .: Nauka, 1968.

Länkar

Base of topology - artikel från Encyclopedia of Mathematics . A. A. Maltsev