Diskret utrymme

Ett diskret utrymme i allmän topologi och relaterade områden av matematik är ett utrymme där alla punkter är isolerade från varandra i någon mening.

Definitioner

Låt vara en uppsättning och vara familjen av alla dess undergrupper . Sedan är en topologi på denna uppsättning, som kallas den diskreta topologin, och paret kallas ett diskret topologiskt utrymme . $X$ $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $(X,{\mathcal {T))$
Låt vara ett metriskt utrymme , där måttet definieras enligt följande: $(X,\rho)$ $\rho$

\rho (x,y)={\begin{cases}1,&x\neq y,\\0,&x=y,\end{cases}}\quad x,y\in X.

Då kallas det ett diskret metriskt utrymme, och hela utrymmet kallas ett diskret metriskt utrymme . $\rho$

Topologin som induceras av ett diskret mått är diskret. Det omvända är falskt. Ett mått som inte är diskret kan generera en diskret topologi.

Låt var och vara en diskret mått på . Sedan är ett diskret metriskt och, följaktligen, topologiskt utrymme. $X=\{1,\ldots ,n\},$ $n\in \mathbb {N}$ $\rho$ $X$ $(X,\rho)$
Låt detta mått vara icke-diskret, men det genererar en diskret topologi . $X=\left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\rho (x,y)=|xy|.$

Ett topologiskt utrymme är diskret om och endast om varje enpunktsdelmängd av den är öppen .
Alla enpunktsundergrupper av ett diskret topologiskt utrymme utgör grunden för en diskret topologi.
Ett diskret topologiskt utrymme är kompakt om och endast om det är ändligt .
Det diskreta metriska utrymmet är avgränsat .
Alla två diskreta topologiska utrymmen som har samma kardinalitet är homeomorfa .
Alla funktioner som definieras på ett diskret topologiskt utrymme är kontinuerliga .
En diskret delmängd av ett euklidiskt utrymme är på sin höjd räkningsbar . Det omvända är i allmänhet inte sant.