Linjär form

Linjär form, linjär funktionell (termerna 1-form , kovektor , kovariant vektor används också ) är en linjär avbildning som verkar från ett vektorrum över ett fält till ett fält . Linjäritetsvillkoret består av uppfyllandet av följande två egenskaper: $L$ $K$ $K$

\Phi (f+g)=\Phi (f)+\Phi (g),

\Phi (\alpha f)=\alpha \,\Phi (f)

för valfri två vektorer och valfri . Således är en linjär form (linjär funktionell) ett specialfall av konceptet med en linjär operator som verkar från ett vektorrum till ett annat vektorrum: betraktat över samma fält . Nämligen, i fallet med en linjär form (linjär funktionell), vektorrummet . $f,g\in L$ $\alfa \i K$ $L_{K}\to M_{K}$ $K$ $M_{K}=K$

Termen linjär form används vanligtvis inom algebra och algebraisk geometri, oftast talar man om ändliga dimensionella vektorrum. Ur en algebraisk synvinkel är en linjär form ett specialfall av det mer allmänna begreppet k -form för k= 1.

Termen linjär funktionell är vanlig inom funktionell analys , och oftast talar vi om oändligt dimensionella vektorrum, vars element är funktioner av en eller annan klass, och termen funktionell betonar att en funktion (karta) betraktas, den argument som är funktioner. De vanligaste fälten är eller . $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Exempel

Exempel på linjära former för ändligdimensionella vektorrum :

Det enklaste exemplet på en linjär form är en linjär homogen funktion av en reell eller komplex variabel:

y=kx.

Den skalära produkten av ett argument och en godtycklig vektor är en linjär form:

\Phi (\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} =a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n }x_{n}.\qquad(*)

Dessutom, i fallet med ett ändligt dimensionellt utrymme , har alla linjära former på det formen . Detta gör att varje linjär form kan identifieras med vektorn , och denna korrespondens är en-till-en.

L

(*)

\Phi (\mathbf {x} )

{\mathbf {a} }\in L

Exempel på linjära funktionaler för funktionsutrymmen :

Låt utrymmet bestå av funktioner som är kontinuerliga på setet . Sedan för alla uttryck och man definierar linjära funktionaler på . $L$ $f(x)$ $\Omega$ $x_{i}\in \Omega$ $\Phi (f)=f(x_{0})$ $\Phi (f)=\alpha _{1}f(x_{1})+\alpha _{2}f(x_{2})$ $L$
Låt utrymmet bestå av funktioner som är kontinuerligt differentierbara n gånger på setet . Uttryck $L$ $f(x)$ $\Omega$

\Phi (f)=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(x_{i }),\quad x_{i}\in \Omega ,

definierar en linjär funktion på .

L

Ett av de viktigaste exemplen på en linjär funktion är den skalära produkten av en argumentvektor och någon fast vektor : . I funktionsanalys betraktas ofta vektorrum som består av integrerbara funktioner, och den skalära produkten ges med hjälp av en integral (vanligtvis används Lebesgue-integralen ). I det här fallet tar formeln ovan för den linjära funktionella formen $f\in L$ $\phi \in L$ $\Phi (f)=\langle f,\phi \rangle$

\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)d\omega

. Sådana linjära funktionaler används till exempel i definitionen av Fouriertransformen .

Låt oss vara en linjär operator som kartlägger ett vektorrum i sig självt , som består av funktioner som kan integreras i någon uppsättning . Sedan uttrycket $A\colon L\to L$ $L$ $\Omega$

\Phi (f)=\int _{\Omega }Af(x)\phi (x)d\omega

. definierar en linjär funktion på utrymmet . Exempel på sådana linjära funktioner:

L

\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)d\omega

\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)d\omega

\Phi (f)=\int _{\Omega }{\Bigl (}\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f} {dx^{i))}(x){\Bigr )}\,d\omega

Egenskaper

Uppsättningen av alla linjära former på ett vektorrum är i sig ett vektorrum med avseende på operationerna addition och multiplikation med element från fältet . Detta utrymme kallas dubbel till och betecknas med [1] . Det dubbla rummets vektorer brukar kallas kovektorer . Inom kvantmekaniken är det också vanligt att använda termerna bra vektorer och ket vektorer för att beteckna vektorer av det ursprungliga rummet och kovektorer. $L$ $K$ $L$ ${\displaystyle L^{\ast ))$
Om dimensionen är (ändlig), då när en viss bas väljs i rymden, skrivs vilken linjär form som helst i formen , där vektorn och uppsättningen av koefficienter unikt bestämmer denna form. Formen ges av en uppsättning av dess koordinater i någon bas av det konjugerade rummet , vilket kallas reciprokt eller dubbelt till basen . Således [2] . $\dim L=n$ $L$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ ${\displaystyle \Phi (x)=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n))$ ${\displaystyle x=x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n}e_{n))$ $a_{i}$ $\Phi (x)$ $a_{i}$ ${\displaystyle L^{\ast ))$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $\dim L^{*}=n$
Om dimensionen är finit är den isomorf , men i det oändliga dimensionsfallet är det inte fallet. I det finita dimensionella fallet identifieras det andra dubbla rummet naturligt med det ursprungliga rummet [3] . I det oändliga dimensionella fallet är villkoret att rummet är isomorft ganska icke-trivialt, sådana utrymmen kallas reflexiva [4] . $\dim L$ ${\displaystyle L^{\ast ))$ $L$ ${\displaystyle (L^{\ast })^{\ast ))$ $L$ $L$ ${\displaystyle (L^{\ast })^{\ast ))$
Kärnan i en linjär form (linjär funktionell) är ett vektordelrum. Om utrymmet är ändligt dimensionellt är kärnan i en linjär form som inte är identiskt noll ett hyperplan i . I synnerhet för kärnan av den linjära formen , där , är ett plan i tredimensionellt utrymme, och koefficienterna är koordinaterna för planets normalvektor. $L$ $L$ $\dim L=3$ $\Phi (x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=0$ $|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|\neq 0$ $a_{i}$

Relaterade begrepp

I studiet av oändligt dimensionella funktionsrum spelas en speciell roll av kontinuerliga linjära funktionaler , annars kallade generaliserade funktioner . Kontinuitetsegenskapen för en linjär funktion beror på vilken klass av funktioner (rymden) som den verkar på. Således är det lätt att se att vissa av ovanstående funktionaliteter inte är kontinuerliga när de agerar på diskontinuerliga funktioner (sådana exempel kan enkelt ges). Men på separerbara utrymmen - det vill säga i det vanligaste och mest konstruktivt utvecklade fallet - är de alla kontinuerliga.
Rees-representationssatsen säger att varje kontinuerlig linjär funktion i ett Hilbert-rum kan representeras på ett liknande sätt genom den skalära produkten med något element av detta utrymme. $(*)$
Genom att använda generaliserade funktioner , i synnerhet Dirac delta-funktionen och dess derivator, kan många linjära funktionaler, särskilt från de som ges som exempel ovan, representeras som integralfunktioner , till exempel:

\Phi (f)=f(1)-f(0)=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-1)f(x)dx-\int _{ -\infty }^{+\infty }\delta (x-0)f(x)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }(\delta (x-1)-\delta (x ))f(x)dx

. I den vanliga abstrakta definitionen av en generaliserad funktion definieras den helt enkelt som en kontinuerlig linjär funktion (i traditionell mening och notation genereras den funktionella av underförstådd integration med en generaliserad funktion).

Se även

Litteratur

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Linjär algebra och geometri, - M .: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elements of functional analysis, - M .: Nauka, 1965.
Kantorovich L. V. , Akilov G. P. , Funktionsanalys, 1:a upplagan, M., 1977.
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. - Vilken upplaga som helst.

Anteckningar

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - kap. III, § 3.7. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - kap. III, s. 131. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - kap. III, s. 132. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Element i teorin om funktioner och funktionell analys. - Vilken upplaga som helst.