Hahn-Banachs teorem

Hahn - Banach -satsen hänvisar till flera relaterade klassiska resultat av funktionell analys , i synnerhet

Satsen om fortsättningen av en linjär funktional med bibehållande av majoranten ;
Separationssatsen för konvexa mängder ;
Sats om kontinuerlig eller positiv fortsättning av en linjär funktional.

Satsen om fortsättningen av en linjär funktional med bibehållande av majoranten

Låta vara ett linjärt eller vektorutrymme över fältet av reella tal och vara en positivt homogen subadditiv funktionell . För varje linjärt delrum av ett linjärt utrymme, varje linjär funktionell som uppfyller villkoret $X$ $\mathbb {R}$ $p:X\till \mathbb R$ $Y$ $X$ $f:Y\to \mathbb R$

f(y) \leqslant p(y), \forall y \in Y

kan utvidgas till hela utrymmet samtidigt som denna ojämlikhet bibehålls. $X$

Det är lätt att visa att endast positiv homogenitet (en sådan felaktig formulering ges i Mathematical Encyclopedia ) eller superadditivitet hos det funktionella inte räcker för giltigheten av denna sats. $sid$

Ett motexempel på en positivt homogen funktionell: , , . $X=\mathbb R$ $Y=\{0\}$ $p(x):=-|x|, x\in X, f(0)=0$

Allmänt kända är olika versioner av satsen om fortsättningen av en linjär funktionell med bevarandet av majoranten för linjära rum över fältet av komplexa tal när är en seminorm . $sid$

Sats om kontinuerlig förlängning av en linjär funktionell

Varje linjärt avgränsad funktion definierad på ett linjärt grenrör av ett normerat linjärt utrymme kan utökas till hela utrymmet med normen bevarad. $f$ $Y$ $X$

Många viktiga följder följer av dessa satser. En av dem:

För två olika punkter i ett linjärt normerat utrymme eller ett lokalt konvext utrymme finns det en linjär kontinuerlig funktion definierad på hela utrymmet för vilken dess värden vid dessa punkter är olika.

Bevis

Först bevisar vi att det finns en förlängning i en riktning. Låt . Betrakta ett linjärt mellanrum av formen: $z\in X\setminus Y$

Y_z\doteq\left\{y+az, \y\in Y,\ a\in \R\right\}.

Vi kommer att fortsätta skriva : $f$ $Y_z$

\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),

var ska det verkliga talet bestämmas. För godtycklig och utförs: $\tilde f(z)$ $y_1, y_2\in Y$ $a,b>0$

f(ay_1+by_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\leqslant

{} \leqslant (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =

{}= (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \leqslant

\leqslant ap(y_1-bz) + bp(y_2+az).

Härifrån

a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \leqslant -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right)

Följaktligen

\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant \frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2) \right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.

Låt oss definiera det så här $c\in \R$

\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \ leqslant \inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.

Jämlikhet

ac \leqslant p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R

Låt oss definiera

\tilde f(z)=c.

För alla och godtyckliga gäller följande ojämlikhet: $y\i Y$ $a\i \R$

\tilde f(y+az)=f(y)+ac \leqslant p(y+az),

det är därför

\tilde f(x)\leqslant p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.

För att komplettera beviset använder vi Zorns lemma . Låt vara mängden av alla möjliga förlängningar som uppfyller villkoren för teoremet. Denna uppsättning är delvis ordnad på grund av inkluderingen av domäner, och varje linjärt ordnad delmängd har ett supremum (föreningen av domäner ). Därför, genom Zorn-lemmat, har denna uppsättning ett maximalt element. Detta element är lika med hela utrymmet, annars kan ytterligare fortsättning utföras med endast en viss konstruktion. $E$

Se även

Litteratur