Konvex funktionell

En konvex funktionell är en funktionell som är en konvex funktion , det vill säga vars epigraf är en konvex uppsättning .

Formellt kallas en funktion som definieras på ett linjärt utrymme konvex om [1] är sant : $sid$ $L$

p(\alpha x+\beta y)\leq \alpha p(x)+\beta p(y)\ ,\forall x,y\in L,\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\ alfa+\beta=1

.

Exempel på konvexa funktionaler är seminormen , normen , den linjära funktionella och Minkowskifunktionella av en konvex och symmetrisk uppsättning.

Om och är konvexa funktionaler, är ett positivt tal, är följande funktionaler konvexa: $sid$ $q$ $\alfa$

$(p+q)(x)=p(x)+q(x)$
$(\alpha p)(x)=\alpha p(x)$
$(p\vee q)(x)=\max(p(x),q(x))$
Slutlig faltning: $(p\oplus q)(x)=\inf _{y+z=x}(p(y)+q(z))$

Teorin om konvexa funktionaler används i konvex programmering [2] .

Länkar

Polovinkin E. S., Balashov M. V. Element av konvex och starkt konvex analys. — M.: Fizmatlit, 2004. — 416 sid. — ISBN 5-9221-0499-3 .
Konvex funktionell artikel från Encyclopedia of Mathematics . V. M. Tikhomirov

Anteckningar

↑ Vete, 1969 , sid. 37.
↑ Vete, 1969 , sid. 49.

Litteratur

Vete B.N. Nödvändiga förutsättningar för ett extremum. — M .: Nauka, 1969. — 150 sid.