En och en halv rad form

En sesquilinjär form är en generalisering av begreppet en bilinjär form . Som regel är en sesquilinjär form en funktion f(x, y) av två vektorer av ett vektorrum över ett fält med värden i detta fält, om det är linjärt som en funktion för varje fix och halvlinjär som en funktion för varje fast . Kravet på semi-linjäritet innebär att följande villkor är uppfyllda: [1] $V$ $\mathbb {C}$ $x$ $y$ $y$ $x$ $y$

$f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V ,$
$f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$

Sålunda uppstår vissa former naturligt i tillämpningar inom fysiken.

Det finns en generalisering till fallet när vektorutrymmet betraktas över ett godtyckligt fält , då ersätts den komplexa konjugationen av en godtycklig fixerad automorfism av fältet. I projektiv geometri övervägs ibland en ännu större generalisering, när istället för ett vektorutrymme används en modul över en godtycklig kropp . $K$

Argumentordningskonventioner

Definitionen som ges i ingressen är linjär i det första argumentet och halvlinjär i det andra. Denna konvention används ofta i den matematiska litteraturen. Det är dock värt att notera att i den fysiska litteraturen används semilinearitet i det första argumentet oftare [2] , denna överensstämmelse härrör från beteckningarna bra och ket som introducerades av Dirac inom kvantmekaniken .

I ett komplext vektorrum

En mappning i ett komplext vektorrum kallas sesquilinjär om: $\varphi :V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

{\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y ,w)\\&\varphi (ax,by)=a{\overline {b}}\,\varphi (x,y)\end{aligned}}

för alla och alla Här, med hjälp av ett tal som är komplext konjugerat till ett tal $x,y,z,w\in V$ $a,b\in \mathbb {C} .$ $\overline {b}$ $b.$

Den komplexa sesquilinjära formen kan också ses som en komplex bilinjär kartläggning

V × V ¯ → C , {\displaystyle V\times {\overline {V}}\to \mathbb {C} ,}

V\times {\overline {V}}\to \mathbb {C} ,

var är det komplexa konjugerade vektorutrymmet till rummet

{\overline {V))

V.

För en fast karta är mappningen en linjär funktion på , det vill säga ett element i det dubbla utrymmet . På liknande sätt är mappningen för fix en antilinjär funktion på $w\in V$ $z\mapsto \varphi (z,w)$ $V$ $V^*$ $w\mapsto \varphi (z,w)$ $z$ $V.$

För alla komplexa sesquilinjära former kan vi överväga den andra formen med formeln: $\varphi$ $\psi$

ψ ( w , z ) = φ ( z , w ) ¯ . {\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w))).}

\psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w))).

I det allmänna fallet, och kommer att vara annorlunda, och deras matriser är Hermitian konjugat . Om formerna matchar, sägs det vara hermitiskt . På samma sätt, om de är motsatta till varandra, sägs det vara skev-hermitiskt .

\psi

\varphi

\varphi

\varphi

Matrisrepresentation

Låt vara ett ändligt dimensionellt komplext vektorrum, då kan den sesquilinjära formen representeras med hjälp av en matris enligt följande formel för vilken

grund som helst:

V

{\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i))

\varphi

\Phi

φ ( w , z ) = φ ( ∑ i w i e i , ∑ j z j e j ) = ∑ i ∑ j w i z j ¯ φ ( e i , e j ) = w T Φ z ¯ . {\displaystyle \varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\ summa _{i}\summa _{j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T } }\Phi {\overline {z}}.}

\varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\ summa _{i}\summa _{j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T } }\Phi {\overline {z}}.

Matriselementen bestäms utifrån villkoret

\Phi

\Phi _{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).

Hermitiska former

En hermitisk form (även en sesquilinjär symmetrisk form ) är en sesquilinjär form på ett komplext utrymme så att $h:V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

h ( w , z ) = h ( z , w ) ¯ . {\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w))).}

h(w,z)={\overline {h(z,w))).

I fallet med positiv bestämdhet av en sådan form (definierad på samma sätt som det bilinjära fallet), talar man om en hermitisk skalär produkt . Den Hermitiska standardprodukten ges av formeln

⟨ w , z ⟩ = ∑ i = ett n w i z ¯ i . {\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.}

\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.

Ett par av ett vektorrum och en hermitisk form som definieras på det kallas ett hermitiskt utrymme , och i det positivt definierade fallet, ett komplext Hilbert-utrymme . När du skriver en hermitisk form på godtycklig basis, erhålls en hermitisk matris . $(V,h)$

När du tillämpar den hermitiska formen på samma vektor

| z | h = h ( z , z ) {\displaystyle |z|_{h}=h(z,z)}

|z|_{h}=h(z,z)

alltid ett reellt tal . Det kan visas att en komplex sesquilinjär form är hermitisk om och endast om motsvarande kvadratiska form är verklig för alla

z\in V.

Skew-hermitian former

En skev-hermitisk form är en sesquilinjär form på ett komplext utrymme så att $s:V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

s ( w , z ) = − s ( z , w ) ¯ . {\displaystyle s(w,z)=-{\overline {s(z,w))).}

s(w,z)=-{\overline {s(z,w))).

Varje skev-hermitisk form kan representeras som hermitisk multiplicerad med .

i

När du skriver en skev-hermitisk form på godtycklig basis, erhålls en skev-hermitisk (anti-hermitisk) matris .

När du applicerar den skev-hermitiska formen på samma vektor

| z | s = s ( z , z ) {\displaystyle |z|_{s}=s(z,z)}

|z|_{s}=s(z,z)

alltid ett rent imaginärt tal .

Ovanför divisionsringen

Konceptet med en sesquilinjär form kan generaliseras till en godtycklig divisionsring. I det kommutativa fallet är detta integritetens domän , i det icke-kommutativa fallet används specialfallet oftast, när ringen är ett skevt fält . I det kommutativa fallet, i det följande, kan alla antiautomorfismer helt enkelt betraktas som automorfismer, eftersom dessa begrepp sammanfaller för kommutativa ringar.

Definition

Låt vara en division ring och vara en fix antiautomorfism av denna ring. Sedan är den -sequilinjära formen på den vänstra -modulen en bilinjär mappning så att för någon av modulerna och alla skalärer av följande gäller: $K$ $\sigma$ $\sigma$ $K$ $M$ $\varphi \colon M\times M\to K$ $x,y$ $M$ $\alfa ,\beta$ $K$

\varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \,\varphi (x,y)\,\sigma (\beta ).

Ortogonalt komplement

För en given sesquilinjär form på en modul och en undermodul till modulen är det ortogonala komplementet $\varphi$ $M$ $W$ $M$ $W$

W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.

På liknande sätt sägs ett element vara ortogonalt mot ett element med avseende på formen om . Detta betecknas som , eller helt enkelt , om formen är tydlig från sammanhanget. Denna relation är inte nödvändigtvis symmetrisk , det vill säga den följer inte av . Om för alla följer kallas formen reflexiv . $x \i M$ $y\in M$ $\varphi$ $\varphi (x,y)=0$ $x\perp _{\varphi }y$ $x\perp y$ $x\perp y$ $y\perp x$ $x,y$ $x\perp y$ $y\perp x$

Exempel

Låta vara en tredimensionell vektor utrymme över ett ändligt fält , där är makten av ett primtal . Låt två vektorer och ges av koordinater i standardbasen och . Sedan kan mappningen definieras med formeln: $V$ $F=\operatörsnamn {GF} (q^{2})$ $q$ $x$ $y$ $(x_1,x_2,x_3)$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3))$ $\varphi$

\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{ }^{q}.

Kartläggningen är en automorfism som är en involution . Kartläggningen är en sesquilinjär form. Denna form är hermitisk, och matrisen som motsvarar denna form i standardbasen är helt enkelt identitetsmatrisen . ${\displaystyle \sigma :t\mapsto t^{q))$ $F$ $\varphi$ $\sigma$ ${\displaystyle M_{\varphi ))$

Se även

Anteckningar

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - kap. VI, § 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ not 1 i Anthony Knapp Basic Algebra (2007) sid. 255 Arkiverad 31 oktober 2021 på Wayback Machine

Litteratur

Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.
Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , < https://archive.org/details/finitegeometries0000demb >
Gruenberg, KW & Weir, AJ (1977), Linear Geometry (2:a upplagan), Springer, ISBN 0-387-90227-9
Jacobson, Nathan J. (2009), Basic Algebra I (2:a upplagan), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

Externa resurser

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Sesquilinear form , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4