BH och katt

⟨	∣	⟩
behå		ket
lampett		ket
snart		bka

Bra och ket ( engelska bra-ket < bracket bracket ) är en algebraisk formalism (notationssystem) utformad för att beskriva kvanttillstånd . Kallas även Dirac- notation . Inom matrismekanik är denna notation allmänt accepterad. Denna notation är inget annat än annan textnotation för vektorer, kovektorer, bilinjära former och inre produkter, och är därför tillämpbar (men inte lika vanligt) i linjär algebra i allmänhet. När denna notation används i linjär algebra handlar det vanligtvis om oändligt dimensionella rum och/eller om linjär allegbra över komplexa tal.

Definition och användning

Inom kvantmekaniken beskrivs tillståndet för ett system av en stråle i ett separerbart Hilbert-rum, eller, ekvivalent, av ett element i ett projektivt Hilbert-rum vars element kallas " tillståndsvektorer " ( "ket-vektorer" ) och betecknas med symbolen . ${\mathcal {H}),$ $|\psi\rangle$

Varje ket-vektor tilldelas en bra-vektor från rymdkonjugatet till, det vill säga från $|\psi\rangle$ ${\mathcal {H}),$ ${\mathcal {H}}^{*}.$

Bra-vektorn från rymden definieras av relationen: $\langle \psi |$ ${\mathcal {H}}^{*}$

$\langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\to \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)\rangle =\left(|\ psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)$ , för vilken ket vektor som helst $|\rho \rangle .$

Med vissa yttrandefriheter sägs det ibland att BH-vektorer "sammanfaller" med deras motsvarande komplexa konjugerade ket-vektorer. I detta fall identifieras vektorer och funktionaliteter över vektorer vanligtvis med kolumner eller rader av koordinater för deras expansion i motsvarande bas eller ${\mathcal {H}}^{*}$ ${\mathcal {H}).$

Den skalära produkten av en BH-vektor med en ket-vektor (mer exakt, verkan av en BH-vektor på en ket-vektor) skrivs som två vertikala staplar "sammanfogar" och parenteserna utelämnas. Kvadraten på en vektor, enligt definitionen av ett Hilbert-rum, är icke-negativ: Närhelst det är möjligt, åläggs normaliseringsvillkoret på vektorerna som beskriver systemets tillstånd $\langle \varphi |\psi \rangle ;$ $\langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.$ $\langle \psi |\psi \rangle =1.$

Linjära operatorer

Om är en linjär operator från till , då skrivs operatorns åtgärd på ket-vektorn som $A\colon H\to H$ $H$ $H$ $A$ $|\psi\rangle$ $A|\psi \rangle .$

För varje operatör och bra-vektor introduceras en funktionell från rymden , det vill säga en bra-vektor multiplicerad med operatorn , som definieras av likheten: $A$ $\langle \varphi |$ $(\langle \varphi |A)$ ${\mathcal {H}}^{*},$ $A$

{\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )} ,

för vilken vektor som helst

|\psi\rangle .

Eftersom parentesernas placering inte spelar någon roll, utelämnas de vanligtvis och skrivs enkelt $\langle \varphi |A|\psi \rangle .$

Detta uttryck kallas en operatorfaltning med en bra-vektor och en ket-vektor. Värdet på detta uttryck är en skalär ( komplext tal ). $A$ $\langle \varphi |$ $|\psi\rangle .$

Speciellt skrivs matriselementet för en operator i en viss bas (i tensornotation - ) i Dirac-notation som och medelvärdet för den observerbara (bilinjär form) på tillståndet - som $A$ ${\displaystyle A_{kl))$ $\langle k|A|l\rangle ,$ $\psi$ $\langle \psi |A|\psi \rangle .$

Att multiplicera vektorer med en operator (ket-vektorer till vänster, bra-vektorer till höger) ger vektorer av samma typ och skrivs på samma sätt som i linjär algebra (det vill säga om bra- och ket-vektorerna är identifierade med vektorer - rader och kolumner och operatorer - med kvadratiska matriser):

|{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,

\langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.

Schrodinger-ekvationen (för ett stationärt tillstånd) kommer att ha formen:

H|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,

var är Hamiltonian och är en skalär ( energinivå ).

H

E

Skillnader mellan bra-ket notation och traditionell notation

I matematik används beteckningen " Hermitian " skalär produkt i Hilbert-rymden, vilket har samma betydelse som att multiplicera behå med ket. Emellertid betraktar matematiker vanligtvis vinkelparenteser som ett tecken på en operation, och inte en del av en vektorbeteckning. Den traditionella matematiska notationen, till skillnad från Dirac, är inte symmetrisk - båda vektorerna antas vara värden av samma typ, och operationen är antilinjär i det första argumentet av de två. $\langle \varphi ,\;\psi \rangle$

Å andra sidan är produkten av bh och ket bilinjär , men i två argument av olika slag. Konjugatet till ket-vektorn kommer att vara BH-vektorn (där är den imaginära enheten ). Inom kvantmekaniken kan dock denna märklighet i notationen ignoreras, eftersom kvanttillståndet som representeras av en vektor inte beror på dess multiplikation med några komplexa tal modulo ett . $i|\psi\rangle$ $-i\langle \psi |$ $i$

Dessutom gör användningen av bh och ket det möjligt att betona skillnaden mellan staten (skriven utan parentes och pinnar) och de specifika vektorer som representerar den. $\psi$

Till skillnad från algebraisk notation, där element av basen betecknas som i bra-ket notation, kan bara indexet för grundelementet anges: I detta liknar de tensor notation , men till skillnad från den senare tillåter de att skriva produkter av operatorer med vektorer utan att använda ytterligare (nedsänkta eller upphöjda) bokstäver. $e_{k},$ $\langle k|\;,\;|l\rangle .$

Matematiska egenskaper

Bra och ket kan också användas i ren matematik för att beteckna element av linjära utrymmen som är konjugerade till varandra. Om till exempel då ket-vektorer betraktas som "kolumnvektorer", och bra-vektorer - "radvektorer". ${\mathcal {H}}=R^{n},$

Multipliceringen av bra- och ket-vektorer med varandra och med operatorer kan betraktas som ett specialfall av "rad-för-kolumn" -matrisformalismen . Det är nämligen nödvändigt att sätta ket-vektorer som matriser av storlek , bra-vektorer - av storlek , operatorer - av storlek , där är antalet tillstånd i kvantsystemet ( dimension av rymden ). 1 × 1 matriser har ett enda element och identifieras med skalärer. I fallet med ett oändligt dimensionellt tillståndsutrymme måste ytterligare konvergensvillkor införas på "matriserna" (faktiskt serier ). $N\ gånger 1$ $1\ gånger N$ $N\ gånger N$ $N$ ${\mathcal {H}}$

Formeln för den konjugerade vektorn ser ut så här:

\langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}_{1},{\overline {c}}_{2},\ldots ,{\overline {c}}_ {N}\end{pmatrix}},

var

|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{N}\end{pmatrix}}

Typposten betyder alltid en skalär. En bra-vektor har alltid en parentes till vänster ket-vektor - en parentes till höger En produkt i en "onaturlig" ordning introduceras också - (liknande matrismultiplikationen av en kolumnvektor med en radvektor), vilket ger den så kallade ket-bra-operatören . Operatören har rang 1 och är en tensorprodukt och sådana operatorer är ofta övervägda i operatorteori och kvantberäkning . Speciellt är operatören (när normaliserad ) en projektion på tillståndet , närmare bestämt, på motsvarande endimensionella linjära delrum i $\langle \ldots \rangle$ $\langle ,$ $\rangle .$ $|\varphi \rangle \langle \psi |$ $|\psi \rangle \langle \varphi |$ $|\psi\rangle$ $\langle \varphi |.$ $|\psi \rangle \langle \psi |$ $\langle \psi |\psi \rangle =1$ $\psi$ ${\mathcal {H}).$

Associativitet äger rum :

\langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,

|\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi } }\rangle

etc.

Litteratur

Belousov Yu. M. Kurs i kvantmekanik. icke-relativistisk teori. - M. : MIPT, 2006. - 408 sid.
Davydov A. S. Kvantmekanik. — M .: Nauka, 1973. — 704 sid.
Dirac P. A. M. Principer för kvantmekanik. — M .: Nauka, 1979. — 440 sid.
Messias A. Kvantmekanik. - M. : Nauka, 1978. - T. 1. - 478 sid.
Shpolsky E.V. Atomfysik. - M. : Nauka, 1974. - T. 2. - 448 sid.
Yariv A. Introduktion till teori och tillämpningar av kvantmekanik. — M .: Mir, 1984. — 360 sid.