U(1)

$U(1)$ ( enhetlig grupp av ordning 1) i matematik - den multiplikativa abelska gruppen av alla komplexa tal lika i modul till ett: . Det är också en endimensionell Lie-grupp och är en cirkel . Det är isomorft för gruppen av rotationer av tvådimensionellt verkligt rum. $\{z\in {\mathbb C}:|z|=1\}$ $SO(2)$

Namn och beteckningar

Gruppen kallas enhetlig , eftersom ett komplext tal, modulo ett, kan förstås som en enhetlig matris av storlek . Denna grupp är naturligt isomorf till rotationsgruppen för det verkliga planet (eftersom det komplexa planet kan ses som ett verkligt tvådimensionellt utrymme ). Det betecknas ibland som eller på grund av det faktum att kvadraten på denna grupp är en torus ; inom vissa områden av matematiken kallas produkter av flera grupper , inte nödvändigtvis två, tori ; se t.ex. Maximal torus . $1 gånger 1$ $SO(2)$ $T$ ${\mathbb T}$ ${\mathbb T}\ gånger {\mathbb T}$ ${\mathbb T}$

$U(1)$ även kallad en komplex (enhets) cirkel (i komplex analys : ) eller helt enkelt en "cirkel" ( eller ). $\partiell D$ $S$ $S^{1}$

Vissa egenskaper

Gruppen är kompakt och är den enda möjliga (riktiga) endimensionella kompakta och sammankopplade Lie - gruppen. I vilken kompakt Lie-grupp som helst med positiv dimension kan man hitta en undergrupp som är isomorf till . $U(1)$ $U(1)$

Gruppen är inte bara sammankopplad . $U(1)$

Elementär tolkning

Elementen i gruppen bestämmer faktiskt vinkelns värde : gruppens komplexa tal kan skrivas som (dettare kommer det redan att vara reellt ), och multiplikationen av komplexa tal kommer att förvandlas till addition av vinklar. Således kan en grupp förstås som en grupp av rotationer av en cirkel, eller en grupp av rotationer av hela planet runt origo. $U(1)$ $z$ $z=e^{{i\phi }}$ $\phi$ $U(1)$ $SO(2)$

Vinklar som skiljer sig med ett heltal av varv ( , om vinkeln mäts i radianer ) kommer att matcha. Till exempel kommer summan av två rotationer på och att vara lika med noll. Sålunda är gruppen isomorf till faktorgruppen i gruppen av reella tal modulo . Om du mäter vinkeln i varv ( ), då - en grupp av bråkdelar av reella tal. $2\pi n$ $120^{\cirkel }=2\pi /3$ $240^{\circ }=4\pi /3$ $U(1)$ ${{\mathbb R}}/2\pi {{\mathbb Z}}$ $2\pi$ $2\pi =360^{\cirkel }$ $U(1)\approx {{\mathbb R}}/{{\mathbb Z}}$

Applikation

Gruppen är det viktigaste objektet i Pontryagins dualitetsteori ; genom den bestäms Fouriertransformen . Används ofta i alla sammanhang som involverar komplexa tal , ofta utan att uttryckligen nämna det som en grupp (" multiplicera med ett tal modulo ett", etc.). $U(1)$

Inom fysik är mätteorin elektrodynamik (med Maxwells ekvationer som klassiska rörelseekvationer ). Inom kvantmekaniken , "fysiskt oskiljbara" transformationer av systemets tillståndsvektor , som inte ändrar något observerbart (det vill säga inte ändrar något som i princip är tillgängligt för observation). Se även mätinvarians . $U(1)$ $U(1)$

Metoden för trigonometriska summor är baserad på egenskaper . $U(1)$