Gruppisomorfism

Gruppisomorfism är en en-till-en-korrespondens mellan element i två grupper som bevarar gruppoperationer. Om det finns en isomorfism mellan två grupper sägs grupperna vara isomorfa . Ur gruppteoretisk synvinkel har isomorfa grupper samma egenskaper och de kan inte särskiljas.

Definition

Om två grupper ( G , ∗ ) och ( H , ) ges. En isomorfism av grupper från ( G , ∗ ) till ( H , ) är en bijektiv homomorfism av grupper från G till H . $\cirkel$ $\cirkel$

Med andra ord är en gruppisomorfism en bijektion så att för alla u och v från G , $f:G\högerpil H$

f(u*v)=f(u)\circ f(v)

Anteckningar

Två grupper ( G , ∗ ) och ( H , ) är isomorfa om det finns en isomorfism från den ena till den andra. Detta skrivs så här: $\cirkel$ $(G,*)\cong (H,\circ )$

En kortare och enklare notation används ofta. Om gruppoperationer inte leder till oklarhet, utelämnas de:

G\cong H

(Ibland skriver de till och med bara G = H. Huruvida sådan notation leder till förvirring och tvetydighet beror på sammanhanget. Till exempel är det inte särskilt lämpligt att använda likhetstecknet när två grupper är undergrupper av samma grupp.)

Om H = G och = ∗ är bijektionen en automorfism . $\cirkel$

En gruppisomorfism kan definieras som en dubbelsidig inverterbar morfism i kategorin grupper .

Exempel

Gruppen av alla reella tal genom addition, , är isomorf till gruppen av alla positiva reella tal genom multiplikation : $(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {R} ^{+},\cdot )$

(\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\cdot )

genom isomorfism

f(x)=e^{x}

(se utställare ).

Heltalsgruppen ( genom addition) är en undergrupp och faktorgruppen är isomorf till gruppen av komplexa tal med det absoluta värdet 1 (genom multiplikation): $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ ${\mathbb {R}}/{\mathbb {Z}}$ $S^{1}$

(\mathbb {R} /\mathbb {Z} ,+)\cong (S^{1},\cdot )

Isomorfismen ges av uttrycket

f(x+{\mathbb {Z}})=e^{{2\pi xi}}

för valfritt x från .

\mathbb {R}

Klein-fyrdubbelgruppen är isomorf till den direkta produkten av två kopior (se modulo-jämförelse ), och kan därför skrivas som . Den andra notationen är Dih 2 eftersom det är en dihedral grupp . ${\mathbb {Z}}_{2}={\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ ${\mathbb {Z}}_{2}\times {\mathbb {Z}}_{2}$

Generalisering, för alla udda n , är gruppen Dih 2 n isomorf till den direkta produkten av Dih n och Z 2 .

För vissa grupper är det möjligt att bevisa en isomorfism från valets axiom , men ett sådant bevis visar inte hur man konstruerar en viss isomorfism. Exempel:

Gruppen ( , +) är isomorf till gruppen ( , +) av alla komplexa tal genom addition. [ett] $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Gruppen av komplexa tal som inte är noll är genom multiplikation isomorf till gruppen S 1 som nämnts ovan. $(\mathbb {C} ^{*},\cdot )$

Cykliska grupper

Om ( G , ∗ ) är en oändlig cyklisk grupp , så är ( G , ∗ ) isomorft till heltal (genom addition). Ur en algebraisk synvinkel betyder detta att mängden av alla heltal (genom addition) är den enda oändliga cykliska gruppen.

Alla ändliga cykliska grupper av en given ordning är isomorfa . $(\mathbb {Z} _{n},+)$

Låt G vara en cyklisk grupp och n vara ordningen för gruppen G . G är gruppen som genereras av elementet . Det ska vi visa $\langle x\rangle =\{e,x,...,x^{n-1}\}$

G\cong (\mathbb {Z} _{n},+)

Låt oss definiera

\varphi :G\rightarrow {\mathbb {Z}}_{n}=\{0,1,...,n-1\}

, så . Det är tydligt att det är bijektivt.

\varphi (x^{a})=a

\varphi

På det här sättet,

\varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+\varphi (x ^{b})

, vilket bevisar det .

G\cong (\mathbb {Z} _{n},+)

Egenskaper

Kärnan i en isomorfism från ( G , ∗ ) till ( H , ) är alltid {e G }, där e G är ett neutralt element i gruppen ( G , ∗) $\cirkel$

Om ( G , ∗ ) är isomorft till ( H , ) och om G är Abelian så är H också Abelian. $\cirkel$

Om f är en isomorfism mellan ( G , *) och ( H , ), då om a tillhör G och har ordningen n , så har f(a) samma ordning . $\cirkel$

Om ( G , ∗ ) är en lokalt ändlig grupp som är isomorf till ( H , ), så är ( H , ) också lokalt ändlig. $\cirkel$ $\cirkel$

Konsekvenser

Det följer av definitionen att varje isomorfism mappar ett neutralt element G till ett neutralt element H , $f:G\högerpil H$

f(e_{G})=e_{H}

varav det följer att inverser mappas till inverser,

f(u^{{-1}})=\vänster[f(u)\höger]^{{-1}}

och n :te potensen till n :te potensen,

f(u^{n})=\vänster[f(u)\höger]^{n}

för alla u från G , och även att den inversa kartan också är en isomorfism. $f^{{-1}}:H\högerpil G$

Relationen "isomorphic" uppfyller alla axiomen för ekvivalensrelationen . Om f är en isomorfism av två grupper G och H , så kan alla påståenden som är sanna för G och relaterade till gruppens struktur överföras av f till samma påståenden i H , och vice versa.

Automorfismer

En isomorfism från en grupp ( G , ∗) in i sig själv kallas en automorfism av denna grupp. Eftersom isomofism är bijektiv, $f:G\högerpil G$

f(u)*f(v)=f(u*v)

En automorfism kartlägger alltid ett neutralt element till sig själv. Bilden av en konjugationsklass är alltid en konjugationsklass (samma eller olika). Bilden av ett element har samma ordning som själva elementet.

Sammansättningen av två automorfismer är återigen en automorfism, och denna operation med uppsättningen av alla automorfismer av G , betecknad med Aut( G ), bildar en grupp, automorfigruppen av G .

För alla abelska grupper finns det åtminstone en automorfism som tar gruppens element till sina inverser. Men i grupper där alla element är lika med deras inverser är denna automorfism trivial, till exempel i Klein-fyrgruppen (för denna grupp är alla permutationer av de tre icke-neutrala elementen i gruppen automorfismer, så isomorfismgruppen är isomorf till S 3 och Dih 3 ) .

I Z p för ett primtal p kan ett icke-neutralt element ersättas med ett annat, med motsvarande förändringar i andra element. Automorfismgruppen är isomorf till Z p − 1 . Till exempel, för n = 7, att multiplicera alla element i Z 7 med 3 (mod 7) är en automorfism av ordning 6 i automorfismgruppen, eftersom 3 6 ≡ 1 (mod 7) och mindre potenser av 1 inte gör det. Således genererar denna automorfism Z6 . Det finns ytterligare en automorfism med denna egenskap - multiplikation av alla element i Z 7 med 5 (modulo 7). Således motsvarar dessa två automorfismer elementen 1 och 5 i Z6 , i den ordningen eller vice versa.

Automorfismgruppen Z6 är isomorf till Z2 eftersom endast dessa två element 1 och 5 genererar Z6 .

Automorfismgruppen Z 2 × Z 2 × Z 2 = Dih 2 × Z 2 har ordningen 168, vilket kan visas enligt följande. Alla 7 icke-neutrala element spelar samma roll, så vi kan välja vilken som spelar rollen (1,0,0). Vilken som helst av de återstående sex kan väljas för rollen (0,1,0). Dessa två definierar vad som motsvarar (1,1,0). (0,0,1) vi kan välja mellan fyra, och detta val avgör de återstående elementen. Således får vi 7 × 6 × 4 = 168 automorfismer. De motsvarar automorfismer av Fano-planet , vars 7 punkter motsvarar 7 icke-neutrala element. Linjerna som förbinder de tre punkterna motsvarar gruppoperationen: a , b , och c på linjen betyder a + b = c , a + c = b , och b + c = a . Se även Komplett linjär grupp över ett ändligt fält .

För abelska grupper kallas alla automorfismer utom den triviala yttre automorfismer .

Non-Abelian grupper har icke-triviala inre automorphisms , och eventuellt yttre automorphisms.

Anteckningar

↑ Ask. A Consequence of the Axiom of Choice // Journal of the Australian Mathematical Society. - 1973. - T. 19 . - S. 306-308 .

Länkar

Herstein, IN Ämnen i algebra. - 2 upplagor. - Wiley, 1975. - ISBN 0-471-01090-1 ..