Bijection

En bijektion är en kartläggning som är både surjektiv och injektiv . I en bijektiv mappning motsvarar varje element i en mängd exakt ett element i en annan mängd, och en invers mappning definieras som har samma egenskap. Därför kallas en bijektiv mappning också en en-till-en mappning (korrespondens).

En bijektiv kartläggning som är en homomorfism kallas en isomorf överensstämmelse .

Om en en-till-en-korrespondens (bijection) kan upprättas mellan två uppsättningar, kallas sådana uppsättningar ekvivalenta . När det gäller mängdteori är uppsättningar av lika kraft omöjliga att särskilja.

En en-till-en-mappning av en ändlig mängd på sig själv kallas en permutation (eller substitution) av elementen i denna mängd.

Formellt kallas en funktion en bijektion (och betecknas med ) om den: $f\kolon X\till Y$ $f\colon X\leftrightarrow Y$

mappar olika element i en uppsättning till olika element i en uppsättning ( injektivitet ): $X$ $Y$ $\forall x_1\i X,\;\forall x_2\i X\; x_1 \ne x_2\Högerpil f(x_1) \ne f(x_2)$ .
varje element av har sin förbild ( surjektivitet ): $Y$ $\förallt y\i Y,\;\finns x\i X\;f(x)=y$ .

Exempel:

Identitetskartläggningen på en uppsättning är bijektiv. $\mathrm {id} \colon X\to X$ $X$
$f(x)=x,\;f(x)=x^{3}$ är bijektiva funktioner från till sig själva; i allmänhet är varje monomial av en variabel av udda grad en bijektion inifrån sig själv. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
$f(x)=e^{x}$ är en bijektiv funktion från till . $\mathbb {R}$ $\mathbb{R} _{+}=(0,\;+\infty )$
$f(x)=\sin x$ är inte en bijektiv funktion om vi antar att den är definierad på allt . $\mathbb {R}$
En strikt monoton och kontinuerlig funktion är en bijektion från segment till segment . $f(x)$ $[a,b]$ $[f(a),f(b)]$

En funktion är bijektiv om och endast om det finns en invers funktion så att: $f\kolon X\till Y$ $f^{{-1}}\kolon Y\till X$

\forall x\in X\;f^{{-1}}(f(x))=x

och

\forall y\in Y\;f(f^{{-1}}(y))=y.

Om funktionerna och är bijektiva, är sammansättningen av funktioner också bijektiv, i det här fallet , det vill säga sammansättningen av bijektioner är en bijektion. Det omvända är inte sant i det allmänna fallet: om det är bijektivt kan vi bara säga att det är injektivt, men surjektivt. $f$ $g$ $g\cirkel f$ $(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}$ $g\cirkel f$ $f$ $g$

Litteratur

Vereshchagin N. K., Shen A. Del 1. Mängdlärans början // Föreläsningar om matematisk logik och algoritmteori. — 2:a uppl., rättad. - M. : MTSNMO , 2002. - 128 sid.
Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Matematisk logik: Lärobok. - 3:e uppl., stereotyp .. - St. Petersburg. : Lan, 2004. - 336 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor ryss Stor ryss Britannica (online)